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= 任务分配问题 =

'''任务分配问题'''（Task Assignment Problem）是[[贪心算法]]中的经典问题之一，其目标是在一组任务和一组执行者（或机器）之间找到最优的分配方式，使得总成本或总时间最小化。该问题在调度、资源分配和优化领域有广泛应用。

== 问题描述 ==
给定：
* 一组任务 <math>T = \{t_1, t_2, \ldots, t_n\}</math>
* 一组执行者（或机器）<math>M = \{m_1, m_2, \ldots, m_k\}</math>
* 每个任务 <math>t_i</math> 需要一定的执行时间 <math>p_i</math>
* 每个执行者 <math>m_j</math> 可以处理一个或多个任务

目标：
* 将任务分配给执行者，使得所有执行者的最大完成时间（即“最大负载”）最小化。

== 贪心算法解决方案 ==
贪心算法通过局部最优选择逐步逼近全局最优解。对于任务分配问题，常用的贪心策略是：
1. **最长处理时间优先（LPT）**：将任务按处理时间从大到小排序，然后依次将当前最长的任务分配给当前负载最小的执行者。

=== 算法步骤 ===
1. 将所有任务按处理时间降序排序。
2. 初始化每个执行者的负载为 0。
3. 对于每个任务：
   - 找到当前负载最小的执行者。
   - 将该任务分配给该执行者，并更新其负载。

=== 代码示例 ===
以下是一个 Python 实现：

<syntaxhighlight lang="python">
def assign_tasks(tasks, num_machines):
    # 按处理时间降序排序
    tasks.sort(reverse=True)
    
    # 初始化每台机器的负载
    machine_loads = [0] * num_machines
    
    # 分配任务
    for task in tasks:
        # 找到当前负载最小的机器
        min_load_machine = machine_loads.index(min(machine_loads))
        machine_loads[min_load_machine] += task
    
    # 返回最大负载
    return max(machine_loads)

# 示例输入
tasks = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
num_machines = 3

# 输出分配结果
max_load = assign_tasks(tasks, num_machines)
print("最大负载:", max_load)
</syntaxhighlight>

'''输入'''：
<pre>
tasks = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
num_machines = 3
</pre>

'''输出'''：
<pre>
最大负载: 10
</pre>

'''解释'''：
- 排序后的任务：<math>[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]</math>
- 分配过程：
  - 机器 1：7 + 3 = 10
  - 机器 2：6 + 4 = 10
  - 机器 3：5 + 2 + 1 = 8
- 最大负载为 10。

== 实际应用案例 ==
任务分配问题在以下场景中有广泛应用：
1. '''云计算资源调度'''：将计算任务分配给虚拟机以最小化总执行时间。
2. '''工厂生产线'''：将生产任务分配给机器以优化生产效率。
3. '''分布式计算'''：在分布式系统中分配任务以减少节点间的通信开销。

== 性能分析 ==
贪心算法（LPT 策略）的近似比为 <math>\frac{4}{3} - \frac{1}{3k}</math>，其中 <math>k</math> 是执行者数量。这意味着贪心解的最大负载不超过最优解的 <math>\frac{4}{3}</math> 倍。

== 扩展与变体 ==
1. '''带权任务分配'''：每个任务可能有不同的权重或优先级。
2. '''动态任务分配'''：任务可能随时间动态到达或变化。
3. '''多目标优化'''：同时优化多个目标（如时间、成本、能耗）。

== 可视化示例 ==
以下是任务分配的负载分布图：

<mermaid>
gantt
    title 任务分配示例（最大负载 = 10）
    dateFormat  X
    axisFormat %s
    section 机器 1
    任务 7 : 0, 7
    任务 3 : 7, 10
    section 机器 2
    任务 6 : 0, 6
    任务 4 : 6, 10
    section 机器 3
    任务 5 : 0, 5
    任务 2 : 5, 7
    任务 1 : 7, 8
</mermaid>

== 总结 ==
贪心算法提供了一种高效且易于实现的解决方案，适用于任务分配问题。虽然它不一定总能得到最优解，但在实际应用中通常能提供接近最优的结果。理解贪心策略的选择和局限性对于优化任务分配至关重要。

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