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= Lean在线课程 =

'''Lean在线课程'''是为希望学习Lean编程语言及定理证明工具的初学者和进阶开发者提供的结构化学习资源。这些课程通常涵盖从基础语法到高级定理证明技巧的广泛内容，并通过视频讲座、交互式练习和项目实践帮助学习者掌握Lean的核心概念。

== 概述 ==
Lean是一种函数式编程语言，同时也是交互式定理证明器，广泛应用于数学形式化和程序验证。在线课程为学习者提供了灵活的学习路径，通常包含以下内容：
* Lean语法基础
* 依赖类型系统
* 定理证明策略（Tactics）
* 数学库（Mathlib）使用
* 实际项目应用

== 主要在线课程推荐 ==
以下是当前值得关注的Lean在线课程资源：

=== 1. 官方互动教程 ===
Lean官方提供的交互式学习平台，适合零基础入门：
<syntaxhighlight lang="lean">
-- 示例：基础命题证明
example (P Q : Prop) : P → Q → P ∧ Q :=
begin
  intro hP,
  intro hQ,
  split,
  exact hP,
  exact hQ
end
</syntaxhighlight>
'''输出说明'''：这段代码展示了如何使用Lean的tactics（策略）来构造一个简单命题的证明。

=== 2. 大学公开课 ===
多所顶尖大学提供包含Lean内容的数理逻辑课程：
* 课程结构通常包含：
<mermaid>
graph LR
A[基础逻辑] --> B[Lean语法]
B --> C[命题证明]
C --> D[一阶逻辑]
D --> E[高级类型论]
</mermaid>

=== 3. 专项技能课程 ===
针对特定领域的深入课程，例如：
* 使用Lean进行算法验证
* 数学形式化专题
* 硬件验证应用

== 学习路径建议 ==
对于不同基础的学习者，我们建议以下学习顺序：

{| class="wikitable"
! 学习阶段 !! 推荐内容 !! 预计时长
|-
| 初学者 || 基础语法+简单证明 || 4周
|-
| 中级 || Mathlib应用+中等难度证明 || 8周
|-
| 高级 || 项目实践+原创形式化 || 持续学习
|}

== 实际应用案例 ==
'''案例：验证排序算法正确性'''
<syntaxhighlight lang="lean">
theorem insertion_sort_correct (xs : List ℕ) :
  is_sorted (insertion_sort xs) ∧ is_permutation (insertion_sort xs) xs :=
begin
  apply and.intro,
  { exact insertion_sort_sorted xs },
  { exact insertion_sort_permutation xs }
end
</syntaxhighlight>
这个例子展示了如何用Lean验证插入排序算法的两个关键属性：结果是有序的，且是输入列表的排列。

== 数学公式支持 ==
Lean课程中常涉及类型论概念，例如依赖积类型：
<math>\Pi(x:A), B(x)</math>
表示对于所有<math>x</math>类型为<math>A</math>，都有<math>B(x)</math>类型。

== 学习建议 ==
* 每天坚持完成1-2个小练习
* 参与课程论坛讨论
* 尝试形式化自己熟悉的数学定理
* 定期复习核心概念

== 常见问题 ==
'''Q: 需要多少数学基础才能学习Lean？'''
A: 基础逻辑知识足够开始，高级内容需要相应数学背景。

'''Q: 课程练习如何验证？'''
A: 大多数平台提供即时反馈，Lean编译器会检查证明是否正确。

通过系统学习这些在线课程，开发者可以逐步掌握这一强大的形式化验证工具，并将其应用于数学研究或软件验证领域。

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