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= Lean微积分基础 =

'''Lean微积分基础'''是使用Lean定理证明器进行微积分形式化验证的核心内容，适用于数学学习者及需要形式化验证的程序员。本章节将系统介绍如何在Lean中表达微积分概念、构造证明并解决实际问题。

== 核心概念 ==

微积分在Lean中通过'''数学库（如Mathlib）'''实现形式化定义，主要包含以下对象：
* '''极限'''：<code>Filter.Tendsto</code>
* '''导数'''：<code>HasDerivAt</code>
* '''积分'''：<code>IntervalIntegral</code>
* '''级数'''：<code>HasSum</code>

=== 极限的形式化 ===
Lean中极限的定义采用过滤器（Filter）抽象：

<syntaxhighlight lang="lean">
import analysis.calculus.limit

-- 定义函数f在x₀处的极限为L
example (f : ℝ → ℝ) (x₀ L : ℝ) : Prop := 
  tendsto f (𝓝 x₀) (𝓝 L)
</syntaxhighlight>

其中<code>𝓝 x₀</code>表示x₀的邻域过滤器。

== 导数计算实例 ==

以下展示多项式求导的完整过程：

<syntaxhighlight lang="lean">
import analysis.calculus.deriv

-- 定义函数并计算导数
example : has_deriv_at (λ x, x^3 + 2*x + 1) (3 * x₀^2 + 2) x₀ :=
begin
  apply_rules [has_deriv_at.add, has_deriv_at.pow, has_deriv_at_const, has_deriv_at_id'],
  simp [pow_succ']
end
</syntaxhighlight>

'''输出验证'''：系统会自动验证<math>\frac{d}{dx}(x^3 + 2x + 1) = 3x^2 + 2</math>的正确性。

== 积分应用案例 ==

计算定积分的典型模式：

<syntaxhighlight lang="lean">
import measure_theory.integral.interval_integral

-- 计算∫[0,1] x² dx
example : ∫ x in 0..1, x^2 = 1/3 :=
begin
  exact integral_pow 2
end
</syntaxhighlight>

== 可视化辅助 ==

使用Mermaid展示微积分概念关系：

<mermaid>
graph LR
    A[极限] --> B[导数]
    A --> C[积分]
    B --> D[泰勒级数]
    C --> E[微积分基本定理]
</mermaid>

== 实际应用场景 ==

'''案例：机器人运动规划'''
通过Lean验证速度-加速度模型的正确性：

<syntaxhighlight lang="lean">
variables (t : ℝ) (position velocity : ℝ → ℝ)

-- 验证速度是位置的导数
axiom vel_is_deriv : ∀ t, has_deriv_at position (velocity t) t

-- 验证加速度是速度的导数
axiom acc_is_deriv : ∀ t, has_deriv_at velocity (acceleration t) t
</syntaxhighlight>

== 关键公式 ==

微积分基本定理在Lean中的表达：
<math>
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)
</math>

对应Lean实现：
<syntaxhighlight lang="lean">
theorem fundamental_theorem (f : ℝ → ℝ) (a x : ℝ) :
  has_deriv_at (λ u, ∫ t in a..u, f t) (f x) x :=
integral_has_deriv_at_right f a x
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==
1. 从Mathlib的<code>analysis.calculus</code>模块开始探索
2. 使用<code>#check</code>命令查看定理类型
3. 通过<code>library_search</code>自动寻找相关定理

通过本章学习，读者将掌握用Lean严格表达微积分命题的能力，并为形式化数学验证打下坚实基础。

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