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= Lean拓扑学库 =

== 介绍 ==
'''Lean拓扑学库'''是[[Lean定理证明器]]数学库（mathlib）中关于拓扑学的形式化实现，它提供了现代数学中拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性等核心概念的形式化定义与证明。该库允许用户：
* 以类型论为基础构建拓扑结构
* 验证拓扑性质的数学证明
* 将抽象拓扑理论转化为可执行的数学对象

对于程序员而言，这是一个理解如何用函数式编程表达高级数学概念的绝佳案例。

== 核心概念 ==

=== 拓扑空间定义 ===
在Lean中，拓扑空间被定义为具有特定开集族的类型：

<syntaxhighlight lang="lean">
import topology.basic

-- 定义拓扑空间的基本结构
variables (X : Type*) [topological_space X]

-- 示例：离散拓扑
example : topological_space X := discrete_topology X
</syntaxhighlight>

其中`[topological_space X]`是类型类实例，表示X上存在拓扑结构。

=== 连续映射 ===
连续函数在Lean中被定义为开集的原像仍是开集的映射：

<syntaxhighlight lang="lean">
import topology.continuous_function

variables {X Y : Type*} [topological_space X] [topological_space Y]

def is_continuous (f : X → Y) : Prop :=
∀ s : set Y, is_open s → is_open (f ⁻¹' s)
</syntaxhighlight>

== 关键组件 ==

=== 基本构造 ===
{| class="wikitable"
! 组件 !! Lean实现 !! 数学含义
|-
| 开集 || <code>is_open</code> || 满足拓扑公理的子集族
|-
| 邻域 || <code>nhds</code> || 点周围的邻域滤子
|-
| 紧致性 || <code>is_compact</code> || 每个开覆盖存在有限子覆盖
|-
| 连通性 || <code>is_connected</code> || 不能分解为两个非空不相交开集的并
|}

=== 重要定理示例 ===
[[紧致空间]]的连续像是紧致的：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem continuous.image_compact {f : X → Y} (hf : continuous f) 
  (hK : is_compact K) : is_compact (f '' K) :=
-- 证明省略
</syntaxhighlight>

== 实际案例 ==

=== 圆周的拓扑定义 ===
使用乘积拓扑定义圆周S¹：

<mermaid>
graph LR
    A[单位区间 [0,1]] --> B(端点粘合)
    B --> C[圆周 S¹]
</mermaid>

对应Lean实现：

<syntaxhighlight lang="lean">
import topology.quotient_topology

def circle := quotient (setoid.mk (λ x y : [0,1], x = y ∨ {x,y} = {0,1}))
</syntaxhighlight>

===  Brouwer不动点定理 ===
展示库中一个经典定理的形式化：

<math>
\text{若 } f : D^n \to D^n \text{ 连续，则存在 } x \in D^n \text{ 使得 } f(x) = x
</math>

对应Lean语句：

<syntaxhighlight lang="lean">
import topology.unit_ball

theorem brouwer_fixed_point 
  {n : ℕ} (f : ball n → ball n) (hfc : continuous f) :
  ∃ x : ball n, f x = x :=
-- 证明引用mathlib实现
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==

对于不同基础的学习者：

* '''初学者'''：从理解`topological_space`类型类开始，尝试用`#check`命令查看基本定义
* '''中级用户'''：研究`filter`和`nhds`的实现，理解收敛的形式化
* '''高级用户'''：探索同调论或谱序列等高级主题的形式化

== 常见问题 ==

'''Q: 如何定义具体的拓扑空间？'''
A: 可通过多种方式：
<syntaxhighlight lang="lean">
-- 通过度量定义
example : topological_space ℝ := metric_space.to_topological_space

-- 通过子空间拓扑
example {X : Type*} [topological_space X] (A : set X) : 
  topological_space A := by apply_instance
</syntaxhighlight>

'''Q: 如何验证两个拓扑相同？'''
A: 使用`topological_space.ext`：
<syntaxhighlight lang="lean">
lemma discrete_eq_induced : 
  discrete_topology X = topological_space.induced (λ x, x) ⊤ :=
topological_space.ext $ λ s, iff.rfl
</syntaxhighlight>

== 延伸阅读 ==
该库持续发展，最新特性包括：
* 层论(formalization of sheaves)
* 代数拓扑实现
* 流形理论

可通过mathlib文档查看最新进展。

[[Category:计算机科学]]
[[Category:Lean]]
[[Category:Lean与数学库]]