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= Lean持久化数据结构 =

'''持久化数据结构'''（Persistent Data Structures）是函数式编程中的重要概念，指在修改数据结构时保留其历史版本，所有版本均可被访问且不会相互干扰。在Lean语言中，持久化数据结构因其不可变特性而成为核心设计范式。

== 核心概念 ==

持久化数据结构的关键特征包括：
* '''不可变性'''：数据一旦创建便不可修改，任何"修改"操作都会生成新版本
* '''结构共享'''：新版本会尽可能复用旧版本的结构，减少内存开销
* '''版本独立性'''：所有版本保持独立，互不影响

在Lean中，标准库提供的<code>List</code>、<code>Array</code>、<code>RBMap</code>等都是持久化实现。

== 与可变数据结构的对比 ==

{| class="wikitable"
|+ 持久化 vs 可变数据结构
! 特性 !! 持久化结构 !! 可变结构
|-
| 修改方式 || 生成新版本 || 原地修改
|-
| 历史版本 || 全部保留 || 仅保留最新
|-
| 线程安全 || 天然安全 || 需要同步机制
|-
| 内存效率 || 结构共享高 || 每次修改独立
|}

== Lean中的实现示例 ==

=== 持久化列表 ===

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 创建初始列表
def original := [1, 2, 3]

-- "修改"操作生成新列表
def modified := 0 :: original

-- 输出验证
#eval original   -- [1, 2, 3]
#eval modified   -- [0, 1, 2, 3]
</syntaxhighlight>

内存结构示意图：
<mermaid>
graph LR
    A[original] --> B[1]
    B --> C[2]
    C --> D[3]
    E[modified] --> F[0]
    F --> B
</mermaid>

=== 持久化红黑树 ===

Lean的<code>RBMap</code>实现展示了更复杂的持久化结构：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Std.Data.RBMap

def emptyMap : Std.RBMap String Nat compare := Std.RBMap.empty
def map1 := emptyMap.insert "apple" 5
def map2 := map1.insert "banana" 7

-- 验证版本独立性
#eval map1.find? "banana"  -- none
#eval map2.find? "banana"  -- some 7
</syntaxhighlight>

== 性能分析 ==

持久化数据结构的效率通过'''分摊时间复杂度'''衡量：

* 列表操作：<math>O(n)</math>最坏情况，但共享尾部
* 树结构操作：<math>O(\log n)</math>，共享未修改分支

内存占用公式（理想情况）：
<math>
M_{\text{total}} = M_{\text{unique}} + \sum_{i=1}^{n} M_{\text{shared}_i}
</math>

== 应用场景 ==

'''案例1：撤销功能实现'''
<syntaxhighlight lang="lean">
structure Document where
  content : RBMap Pos String compare
  history : List (RBMap Pos String compare)

def addEdit (doc : Document) (pos : Pos) (text : String) : Document :=
  { doc with 
    content := doc.content.insert pos text,
    history := doc.content :: doc.history }
</syntaxhighlight>

'''案例2：并发数据处理'''
<syntaxhighlight lang="lean">
def processParallel (data : List α) (f : α → β) : List β :=
  let sharedData := data  -- 持久化结构可安全共享
  sharedData.map f        -- 无需锁即可并行处理
</syntaxhighlight>

== 高级优化技术 ==

=== 哈希数组映射尝试（HAMT） ===
用于实现高效持久化哈希表，通过多级索引实现结构共享。

=== 惰性更新 ===
结合惰性求值延迟实际修改，进一步提升共享率：
<syntaxhighlight lang="lean">
def lazyUpdate (l : List α) (i : Nat) (v : α) : Thunk (List α) :=
  ⟨fun _ => l.set i v⟩  -- 实际修改延迟到强制求值时
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==

初学者应：
1. 从<code>List</code>和<code>RBMap</code>开始实践
2. 使用<code>#eval</code>观察不同版本的内存地址
3. 通过性能分析工具比较不同操作的资源消耗

高级用户可以：
1. 研究<code>Std</code>库中的实现细节
2. 尝试自定义持久化数据结构
3. 探索与Lean定理证明的结合应用

== 参见 ==
* 函数式数据结构
* 结构共享技术
* 不可变编程范式

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