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= Lean数学库导入 =

== 介绍 ==  
在Lean中，数学库（Mathlib）是一个庞大的社区驱动项目，提供了从基础算术到高级数学领域的定理和工具。导入数学库是使用Lean进行形式化数学或验证程序的前提步骤。本章将详细介绍如何导入Lean数学库，并解释其核心机制。

== 基本语法 ==  
在Lean文件中，使用`import`关键字导入所需的库模块。例如：  

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import Mathlib.Data.Real.Basic
</syntaxhighlight>  

* '''Mathlib.Algebra.Group.Defs'''：提供了群（Group）的基本定义。  
* '''Mathlib.Data.Real.Basic'''：包含实数的基础理论。  

== 导入层级结构 ==  
Mathlib的模块按数学领域分层组织，例如：  
* '''Algebra'''：代数结构（群、环、域等）。  
* '''Data'''：数据类型（列表、集合、实数等）。  
* '''Logic'''：逻辑和基础定理。  

<mermaid>  
graph TD  
    A[Mathlib] --> B[Algebra]  
    A --> C[Data]  
    A --> D[Logic]  
    B --> B1[Group.Defs]  
    C --> C1[Real.Basic]  
    D --> D1[Basic]  
</mermaid>  

== 实际案例 ==  
以下是一个使用数学库证明简单命题的示例：  

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Data.Real.Basic  

example (a b : ℝ) : (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2 :=  
by ring  
</syntaxhighlight>  

'''输出'''：Lean自动验证等式成立。  
'''解释'''：  
1. 导入实数库后，可以使用实数运算。  
2. `by ring`调用自动化工具完成多项式化简。  

== 高级用法：自定义导入 ==  
为避免命名冲突或优化加载速度，可限制导入范围：  

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Algebra.Group.Defs (Group)  
</syntaxhighlight>  

仅导入`Group`类，而非整个模块。  

== 常见问题 ==  
1. '''错误：未知标识符'''  
   检查拼写或确认模块是否已安装。  
2. '''性能问题'''  
   过度导入会延长编译时间，建议按需导入。  

== 数学公式支持 ==  
Lean支持在文档中嵌入公式。例如，勾股定理：  
<math>a^2 + b^2 = c^2</math>  

== 总结 ==  
导入数学库是Lean形式化验证的核心步骤。通过模块化设计，用户可以灵活选择所需功能。初学者应从基础库（如`Mathlib.Data.Real.Basic`）开始，逐步探索更复杂的理论。

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