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= Lean证明重构 =

== 介绍 ==  
'''Lean证明重构'''（Proof Refactoring in Lean）是指在Lean定理证明器中优化和改进现有证明的过程，类似于传统编程中的代码重构。其目标包括：  
* 提升证明的可读性、模块化程度  
* 减少冗余步骤或重复结构  
* 增强证明的通用性或可复用性  
* 适应底层库或依赖项的更新  

重构后的证明应保持与原证明相同的逻辑正确性，但更易于维护和理解。这是Lean高级用户的核心技能之一，尤其适用于长期项目或团队协作场景。

== 基础方法 ==  

=== 提取辅助引理 ===  
将重复出现的证明模式提取为独立引理，减少重复代码。  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
-- 原始证明  
example (n : Nat) : n + n = 2 * n := by  
  induction n with  
  | zero => simp  
  | succ k ih =>  
    rw [Nat.succ_add, Nat.mul_succ]  
    rw [ih]  

-- 重构后：提取归纳步骤逻辑  
lemma succ_step (k : Nat) (ih : k + k = 2 * k) :  
  (succ k) + (succ k) = 2 * (succ k) := by  
  rw [Nat.succ_add, Nat.mul_succ, ih]  

example (n : Nat) : n + n = 2 * n := by  
  induction n with  
  | zero => simp  
  | succ k ih => exact succ_step k ih  
</syntaxhighlight>  

=== 使用策略组合 ===  
通过策略组合（如`<;>`）合并相似操作：  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
-- 原始版本  
example (h : P ∨ Q) : Q ∨ P := by  
  cases h with  
  | inl hp => apply Or.inr; exact hp  
  | inr hq => apply Or.inl; exact hq  

-- 重构版本  
example (h : P ∨ Q) : Q ∨ P := by  
  cases h <;> (apply Or.inr <|> apply Or.inl) <;> assumption  
</syntaxhighlight>  

== 高级技术 ==  

=== 自动化策略生成 ===  
利用`macro_rules`或自定义策略批量处理模式：  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
macro_rules | `(tactic| induction_auto) => `(tactic| induction n; simp; try constructor)  

example (n : Nat) : n ≤ n + 1 := by  
  induction_auto  -- 自动生成归纳和化简步骤  
</syntaxhighlight>  

=== 依赖图优化 ===  
通过分析证明依赖关系重构结构：  

<mermaid>  
graph TD  
    A[Main Theorem] --> B[Lemma 1]  
    A --> C[Lemma 2]  
    B --> D[Sublemma 1.1]  
    C --> D  -- 重构后合并重复依赖  
</mermaid>  

== 实际案例 ==  

=== 数学证明重构 ===  
原始证明（费马小定理特例）：  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
example (p : Nat) (hp : Prime p) : p ^ p ≡ p [MOD p] := by  
  cases' hp with hp₁ hp₂  
  induction' p using Nat.strong_induction_on with k ih  
  · sorry  -- 基础步骤省略  
  · rw [Nat.pow_succ]  
    -- 此处有大量重复的同余操作  
    ...  
</syntaxhighlight>  

重构后版本：  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
lemma mod_cong (k p : Nat) (h : k ≡ 1 [MOD p]) :  
  k * p ≡ p [MOD p] := by  
  rw [Nat.mul_comm, ← Nat.mod_eq_zero]  
  simp [h]  

example (p : Nat) (hp : Prime p) : p ^ p ≡ p [MOD p] := by  
  apply mod_cong  -- 使用辅助引理简化核心步骤  
  ...  
</syntaxhighlight>  

== 验证重构正确性 ==  
使用Lean的`#print`命令检查证明项是否等效：  

<syntaxhighlight lang="lean"> 
#print original_proof  
#print refactored_proof  -- 比较两者的证明项结构  
</syntaxhighlight>  

== 最佳实践 ==  
1. '''逐步验证'''：每次小范围重构后立即检查证明状态  
2. '''版本控制'''：使用Git记录重要重构节点  
3. '''性能分析'''：通过`set_option profiler true`检测策略效率变化  

数学公式示例（重构前后的逻辑等价性）：  
<math>  
\forall (P Q : Prop),\ (P \land Q) \iff \lnot(\lnot P \lor \lnot Q)  
</math>  

== 常见错误 ==  
* 过度抽象导致证明失去可读性  
* 忽略隐式依赖关系（如类型类实例）  
* 破坏增量编译（如不合理的`section`划分）  

== 总结 ==  
Lean证明重构是提升证明工程质量的关键技术，需平衡抽象程度与可维护性。通过本文的案例和技术，用户可系统性地优化大型证明项目。

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