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= Lean4新标准库 =

== 介绍 ==  
Lean4新标准库（Standard Library）是Lean4编程语言的核心组成部分，提供了一系列基础数据类型、函数和工具，用于支持函数式编程、定理证明和通用软件开发。与Lean3相比，Lean4标准库进行了全面重构，优化了性能并增强了模块化设计。新标准库更注重实用性和扩展性，同时保持数学严谨性，适合初学者学习函数式编程，也满足高级用户的需求。

== 主要特性 ==  
=== 1. 模块化设计 ===  
Lean4标准库采用分层模块结构，允许用户按需导入功能，减少编译开销。核心模块包括：  
* '''Init''': 基础类型（如`Nat`, `List`, `Option`）和最小依赖的核心函数。  
* '''Mathlib'''（兼容层）: 提供与Lean3 Mathlib兼容的接口。  
* '''System''': 文件IO、进程管理等系统操作。  

示例：导入`List`模块  
<syntaxhighlight lang="lean">  
import Std.Data.List.Basic  
-- 现在可使用List相关函数  
</syntaxhighlight>  

=== 2. 改进的数据类型 ===  
新库优化了常用数据类型的实现，例如：  
* '''List''': 新增高效切片操作和惰性求值支持。  
* '''Array''': 基于可变数组的实现，性能更优。  
* '''HashMap''': 使用哈希冲突优化算法。  

示例：使用`Array`  
<syntaxhighlight lang="lean">  
def arr : Array Nat := #[1, 2, 3]  
#eval arr.push 4  -- 输出: #[1, 2, 3, 4]  
</syntaxhighlight>  

=== 3. 定理证明工具增强 ===  
标准库内置更多自动化策略和简化器，例如：  
* '''simp''': 支持自定义化简规则集。  
* '''omega''': 线性算术决策过程。  

示例：证明列表长度守恒  
<syntaxhighlight lang="lean">  
theorem list_length_cons (x : Nat) (xs : List Nat) :  
  (x :: xs).length = xs.length + 1 := by simp  
</syntaxhighlight>  

== 实际案例 ==  
=== 案例1：文件读取 ===  
使用`System`模块读取文件：  
<syntaxhighlight lang="lean">  
import System.FilePath  

def readFirstLine (path : FilePath) : IO String := do  
  let lines ← IO.FS.lines path  
  return lines[0]'  
</syntaxhighlight>  

=== 案例2：自定义类型类 ===  
利用新库定义`Printable`类型类：  
<syntaxhighlight lang="lean">  
class Printable (α : Type) where  
  print : α → String  

instance : Printable Nat where  
  print n := toString n  

#eval Printable.print 42  -- 输出: "42"  
</syntaxhighlight>  

== 与Lean3的对比 ==  
<mermaid>  
flowchart LR  
  A[Lean3 Stdlib] -->|单一体积大| B[Lean4 Stdlib]  
  B --> C[Init核心]  
  B --> D[Mathlib兼容层]  
  B --> E[System模块]  
</mermaid>  

关键差异：  
* 编译速度提升：Lean4库加载时间减少约40%。  
* 依赖管理：使用Lake构建工具替代Lean3的`leanpkg`。  

== 数学公式支持 ==  
标准库中的数值计算遵循数学规范，例如斐波那契数列：  
<math>  
fib(n) = \begin{cases}  
0 & \text{if } n = 0 \\  
1 & \text{if } n = 1 \\  
fib(n-1) + fib(n-2) & \text{otherwise}  
\end{cases}  
</math>  

== 总结 ==  
Lean4新标准库通过模块化、性能优化和增强的定理证明工具，为不同水平的用户提供了更高效的开发体验。初学者可从基础数据类型入手，而高级用户能利用其扩展性构建复杂系统。

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