编辑“︁关系代数”︁

= 关系代数 =

关系代数是一种用于关系数据库的理论基础，它提供了一组操作符，用于对关系（即表）进行操作和查询。关系代数是SQL（结构化查询语言）的数学基础，理解关系代数有助于更好地掌握数据库查询的原理和优化方法。

== 基本概念 ==

关系代数由一组操作组成，这些操作可以分为两大类：
* '''基本操作'''：选择（Selection）、投影（Projection）、并集（Union）、差集（Set Difference）、笛卡尔积（Cartesian Product）和重命名（Rename）。
* '''派生操作'''：交（Intersection）、连接（Join）、除（Division）等，这些操作可以通过基本操作组合实现。

关系代数的操作对象是'''关系'''（Relation），即数据库中的表。每个关系由一组元组（Tuple，即行）组成，每个元组包含一组属性（Attribute，即列）。

== 基本操作符 ==

=== 选择（Selection） ===
选择操作用于从关系中选择满足特定条件的元组。符号表示为 <math>\sigma_{condition}(R)</math>，其中 <math>R</math> 是关系，<math>condition</math> 是选择条件。

==== 示例 ====
假设有一个关系 <code>Students</code>：

{| class="wikitable"
|+ Students
|-
! ID !! Name !! Age !! Major
|-
| 1  || Alice || 20  || CS
|-
| 2  || Bob   || 22  || Math
|-
| 3  || Carol || 21  || CS
|}

执行选择操作 <math>\sigma_{Major='CS'}(Students)</math>，结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! ID !! Name !! Age !! Major
|-
| 1  || Alice || 20  || CS
|-
| 3  || Carol || 21  || CS
|}

=== 投影（Projection） ===
投影操作用于从关系中选择特定的列（属性）。符号表示为 <math>\pi_{attributes}(R)</math>，其中 <math>attributes</math> 是要选择的属性列表。

==== 示例 ====
对 <code>Students</code> 表执行投影操作 <math>\pi_{Name, Major}(Students)</math>，结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! Name !! Major
|-
| Alice || CS
|-
| Bob   || Math
|-
| Carol || CS
|}

=== 并集（Union） ===
并集操作用于合并两个具有相同属性的关系，符号表示为 <math>R \cup S</math>。结果包含所有在 <math>R</math> 或 <math>S</math> 中的元组。

==== 示例 ====
假设有两个关系 <code>CS_Students</code> 和 <code>Math_Students</code>：

{| class="wikitable"
|+ CS_Students
|-
! ID !! Name
|-
| 1  || Alice
|-
| 3  || Carol
|}

{| class="wikitable"
|+ Math_Students
|-
! ID !! Name
|-
| 2  || Bob
|-
| 4  || Dave
|}

执行并集操作 <math>CS\_Students \cup Math\_Students</math>，结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! ID !! Name
|-
| 1  || Alice
|-
| 2  || Bob
|-
| 3  || Carol
|-
| 4  || Dave
|}

=== 差集（Set Difference） ===
差集操作用于从一个关系中移除另一个关系中存在的元组，符号表示为 <math>R - S</math>。

==== 示例 ====
对 <code>Students</code> 和 <code>CS_Students</code> 执行差集操作 <math>Students - CS\_Students</math>（假设比较的是 <code>ID</code> 和 <code>Name</code>），结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! ID !! Name !! Age !! Major
|-
| 2  || Bob   || 22  || Math
|}

=== 笛卡尔积（Cartesian Product） ===
笛卡尔积操作用于将两个关系的所有元组组合起来，符号表示为 <math>R \times S</math>。结果的关系包含 <math>R</math> 和 <math>S</math> 的所有属性组合。

==== 示例 ====
假设有两个关系 <code>R</code> 和 <code>S</code>：

{| class="wikitable"
|+ R
|-
! A !! B
|-
| 1 || x
|-
| 2 || y
|}

{| class="wikitable"
|+ S
|-
! C !! D
|-
| 3 || a
|-
| 4 || b
|}

执行笛卡尔积 <math>R \times S</math>，结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! A !! B !! C !! D
|-
| 1 || x || 3 || a
|-
| 1 || x || 4 || b
|-
| 2 || y || 3 || a
|-
| 2 || y || 4 || b
|}

=== 重命名（Rename） ===
重命名操作用于修改关系的属性名或关系名，符号表示为 <math>\rho_{new\_name}(R)</math> 或 <math>\rho_{A/B}(R)</math>（将属性 <math>B</math> 重命名为 <math>A</math>）。

==== 示例 ====
对 <code>Students</code> 执行重命名操作 <math>\rho_{Scholar/Student}(Students)</math>，结果的关系名为 <code>Scholar</code>，但内容不变。

== 派生操作符 ==

=== 交（Intersection） ===
交操作用于获取两个关系中共同的元组，符号表示为 <math>R \cap S</math>。可以通过差集实现：<math>R \cap S = R - (R - S)</math>。

=== 连接（Join） ===
连接操作用于基于某些条件合并两个关系，符号表示为 <math>R \bowtie_{condition} S</math>。最常见的连接是自然连接（Natural Join），符号为 <math>R \bowtie S</math>，它会自动匹配相同名称的属性。

==== 示例 ====
假设有两个关系 <code>Students</code> 和 <code>Enrollments</code>：

{| class="wikitable"
|+ Students
|-
! ID !! Name
|-
| 1  || Alice
|-
| 2  || Bob
|}

{| class="wikitable"
|+ Enrollments
|-
! ID !! Course
|-
| 1  || DB
|-
| 2  || OS
|}

执行自然连接 <math>Students \bowtie Enrollments</math>，结果如下：

{| class="wikitable"
|+ Result
|-
! ID !! Name !! Course
|-
| 1  || Alice || DB
|-
| 2  || Bob   || OS
|}

=== 除（Division） ===
除操作用于解决“查询满足所有条件的元组”问题，符号表示为 <math>R \div S</math>。例如，查询选修了所有课程的学生。

== 实际应用案例 ==

关系代数是SQL查询的基础。例如，以下SQL查询：
<syntaxhighlight lang="sql">
SELECT Name FROM Students WHERE Major = 'CS';
</syntaxhighlight>
对应的关系代数为：
<math>\pi_{Name}(\sigma_{Major='CS'}(Students))</math>

== 总结 ==
关系代数是数据库查询的理论基础，掌握其基本和派生操作有助于理解SQL的执行原理和优化查询性能。通过选择、投影、连接等操作，可以灵活地从数据库中提取所需数据。

== 扩展阅读 ==
* [[SQL]]
* [[数据库规范化]]
* [[查询优化]]

[[Category:计算机科学]]
[[Category:数据库与信息系统]]
[[Category:关系数据库理论]]