编辑“︁分治算法的优化”︁

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'''分治算法的优化'''是通过改进经典分治策略（Divide and Conquer）的时间复杂度、空间复杂度或实现细节，以提升算法效率的技术。本页将介绍常见的优化方法，包括递归剪枝、记忆化、并行化等，并结合实际案例与代码示例说明其应用场景。  

== 基本概念 ==  
分治算法的核心思想是将问题分解为若干子问题，递归求解后合并结果。其一般形式为：  
# '''分解（Divide）'''：将原问题划分为多个子问题。  
# '''解决（Conquer）'''：递归解决子问题。  
# '''合并（Combine）'''：将子问题的解合并为原问题的解。  

优化分治算法的目标是减少递归调用次数、避免重复计算或利用硬件并行性。  

== 常见优化技术 ==  

=== 1. 递归剪枝 ===  
通过提前终止不必要的递归分支来减少计算量。例如，在快速排序中，当子数组长度小于阈值时改用插入排序。  

<syntaxhighlight lang="python">  
def quick_sort(arr, low, high):  
    if high - low <= 10:  # 阈值设为10  
        insertion_sort(arr, low, high)  
        return  
    pivot = partition(arr, low, high)  
    quick_sort(arr, low, pivot - 1)  
    quick_sort(arr, pivot + 1, high)  
</syntaxhighlight>  

=== 2. 记忆化（Memoization） ===  
缓存子问题的解，避免重复计算。典型应用包括动态规划与分治结合的场景，如斐波那契数列计算。  

<syntaxhighlight lang="python">  
memo = {}  
def fibonacci(n):  
    if n in memo:  
        return memo[n]  
    if n <= 1:  
        return n  
    memo[n] = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)  
    return memo[n]  
</syntaxhighlight>  

=== 3. 尾递归优化 ===  
将递归转换为迭代，减少调用栈开销。需确保递归调用是函数的最后一步操作。  

<syntaxhighlight lang="python">  
def factorial(n, acc=1):  
    if n == 0:  
        return acc  
    return factorial(n-1, acc * n)  # 尾递归形式  
</syntaxhighlight>  

=== 4. 并行化分治 ===  
利用多线程或分布式计算并行处理子问题。例如，归并排序中左右子数组的排序可并行执行。  

<mermaid>  
graph TD  
    A[原数组] --> B[左子数组]  
    A --> C[右子数组]  
    B --> D[线程1排序]  
    C --> E[线程2排序]  
    D --> F[合并结果]  
    E --> F  
</mermaid>  

== 实际案例 ==  

=== 案例1：快速选择算法（Quickselect） ===  
优化分治的快速选择算法用于在未排序数组中查找第k小元素，平均时间复杂度为<math>O(n)</math>。  

<syntaxhighlight lang="python">  
import random  

def quickselect(arr, k):  
    pivot = random.choice(arr)  
    left = [x for x in arr if x < pivot]  
    right = [x for x in arr if x > pivot]  
    mid = [x for x in arr if x == pivot]  
    if k < len(left):  
        return quickselect(left, k)  
    elif k < len(left) + len(mid):  
        return mid[0]  
    else:  
        return quickselect(right, k - len(left) - len(mid))  
</syntaxhighlight>  

=== 案例2：Strassen矩阵乘法 ===  
通过分治将矩阵乘法的复杂度从<math>O(n^3)</math>优化至<math>O(n^{2.81})</math>，核心思想是减少子问题数量。  

<math>  
\begin{pmatrix}  
C_{11} & C_{12} \\  
C_{21} & C_{22}  
\end{pmatrix}  
=  
\begin{pmatrix}  
A_{11} & A_{12} \\  
A_{21} & A_{22}  
\end{pmatrix}  
\times  
\begin{pmatrix}  
B_{11} & B_{12} \\  
B_{21} & B_{22}  
\end{pmatrix}  
</math>  

== 总结 ==  
分治算法的优化需结合具体问题特性选择技术：  
* 减少递归开销：剪枝、尾递归优化。  
* 避免重复计算：记忆化。  
* 利用硬件优势：并行化。  

通过合理优化，分治算法能更高效地解决大规模问题。

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