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'''数据分解策略'''（Data Decomposition Strategies）是并行与分布式算法设计的核心技术之一，指将大规模数据分割为多个独立或部分独立的数据块，以便在多处理器或分布式系统中并行处理。其目标是最大化计算资源的利用率，同时最小化通信开销和同步成本。

== 概述 ==
数据分解策略通过将输入数据、中间结果或输出数据划分为更小的单元，使多个计算单元（如CPU核心、GPU线程或分布式节点）能够同时处理不同部分的数据。常见的分解维度包括：
* '''空间分解'''（如矩阵分块、图像分区）
* '''时间分解'''（如视频帧分配）
* '''功能分解'''（如管道式处理）

数学表示为：给定数据集<math>D</math>，将其分解为<math>n</math>个子集<math>\{D_1, D_2, ..., D_n\}</math>，满足<math>D = \bigcup_{i=1}^n D_i</math>，且通常要求<math>D_i \cap D_j = \emptyset</math>（当<math>i \neq j</math>时）。

== 主要策略 ==
=== 1. 块分解（Block Decomposition） ===
将数据均匀划分为连续块，每个处理器处理一个块。适用于数组、矩阵等线性结构。

'''示例'''：将长度为16的数组分配给4个处理器
<syntaxhighlight lang="python">
data = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]
n_processors = 4
block_size = len(data) // n_processors

# 分解结果
blocks = [
    data[i*block_size : (i+1)*block_size] 
    for i in range(n_processors)
]
print(blocks)
</syntaxhighlight>

'''输出'''：
<pre>
[[0, 1, 2, 3], [4, 5, 6, 7], [8, 9, 10, 11], [12, 13, 14, 15]]
</pre>

=== 2. 循环分解（Cyclic Decomposition） ===
按轮转方式分配数据元素，适合负载均衡但可能增加通信开销。

'''示例'''：同上数组的循环分配
<syntaxhighlight lang="python">
blocks = [[] for _ in range(n_processors)]
for idx, item in enumerate(data):
    blocks[idx % n_processors].append(item)
print(blocks)
</syntaxhighlight>

'''输出'''：
<pre>
[[0, 4, 8, 12], [1, 5, 9, 13], [2, 6, 10, 14], [3, 7, 11, 15]]
</pre>

=== 3. 块-循环分解（Block-Cyclic） ===
结合块分解和循环分解的优点，将数据分为中等大小的块后循环分配。

=== 4. 几何分解（Geometric Decomposition） ===
根据数据空间关系划分，如图像的网格划分或三维体素分割。

<mermaid>
graph TD
    A[原始图像] --> B[划分为4x4网格]
    B --> C1[区块1]
    B --> C2[区块2]
    B --> C3[...]
    B --> C16[区块16]
</mermaid>

=== 5. 基于图的分解（Graph Partitioning） ===
将问题转化为图划分，目标是最小化割边数（通信量）。常用工具如METIS。

== 实际案例 ==
=== 案例1：矩阵乘法 ===
对于矩阵<math>C = A \times B</math>，可采用：
* '''块分解'''：将<math>A</math>按行分块，<math>B</math>按列分块
* '''二维分解'''：将两个矩阵都划分为<math>p \times p</math>的子矩阵

=== 案例2：分布式WordCount ===
在MapReduce中：
1. '''输入分解'''：将文本文件按行或字节范围分片
2. '''Map阶段'''：每个mapper处理一个分片
3. '''Reduce阶段'''：按单词哈希值分配reducer

== 选择策略的考量因素 ==
* '''数据局部性'''：尽量减少处理器间通信
* '''负载均衡'''：确保各处理器工作量相近
* '''算法特性'''：如是否需要全局同步
* '''硬件架构'''：共享内存与分布式系统的区别

== 性能分析 ==
关键指标包括：
* '''加速比'''：<math>S_p = \frac{T_1}{T_p}</math>
* '''效率'''：<math>E_p = \frac{S_p}{p}</math>
* '''可扩展性'''：数据规模增大时性能的变化

<math>
\text{通信开销} = \alpha \cdot m + \beta \cdot n
</math>
其中<math>\alpha</math>为延迟，<math>\beta</math>为传输速率，<math>m</math>为消息数，<math>n</math>为数据量。

== 进阶主题 ==
* '''动态负载均衡'''：适应不规则数据分布
* '''层次化分解'''：结合多级并行（如MPI+OpenMP）
* '''异构分解'''：CPU与GPU协同处理

== 参见 ==
* [[并行算法设计模式]]
* [[分布式系统一致性]]
* [[负载均衡技术]]

{{Parallel Computing}}

[[Category:并行计算]]
[[Category:算法设计]]

[[Category:计算机科学]]
[[Category:数据结构与算法]]
[[Category:并行与分布式算法]]