编辑“︁算法优化技巧”︁

{{DISPLAYTITLE:算法优化技巧}}  
{{Note|本文面向初学者和进阶开发者，将系统讲解算法优化的核心技巧，包含数学原理、代码实现及工业级应用案例。}}  

== 概述 ==  
'''算法优化技巧'''指通过改进代码结构、数学建模或利用特定性质，使算法在[[时间复杂度]]、[[空间复杂度]]或实际运行效率上显著提升的方法。优化目标通常包括：  
* 降低时间复杂度的阶数（如从O(n²)到O(n log n)）  
* 减少常数因子（如循环展开、缓存友好访问）  
* 空间换时间（如动态规划中的记忆化）  

== 核心优化方法 ==  

=== 1. 时间复杂度优化 ===  
==== 分治策略 ====  
将问题分解为子问题，通过递归或迭代合并结果。经典案例是[[归并排序]]：  
<syntaxhighlight lang="python">  
def merge_sort(arr):  
    if len(arr) <= 1:  
        return arr  
    mid = len(arr) // 2  
    left = merge_sort(arr[:mid])  
    right = merge_sort(arr[mid:])  
    return merge(left, right)  # 合并操作时间复杂度O(n)  

# 总时间复杂度：O(n log n)  
</syntaxhighlight>  

==== 贪心选择 ====  
通过局部最优解逼近全局最优，如[[霍夫曼编码]]。需证明贪心选择的正确性。  

=== 2. 空间复杂度优化 ===  
==== 原地算法 ====  
不占用额外空间，直接修改输入数据。例如[[快速排序]]的原地分区：  
<syntaxhighlight lang="python">  
def partition(arr, low, high):  
    pivot = arr[high]  
    i = low  
    for j in range(low, high):  
        if arr[j] < pivot:  
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]  
            i += 1  
    arr[i], arr[high] = arr[high], arr[i]  
    return i  # 空间复杂度O(1)  
</syntaxhighlight>  

=== 3. 常数因子优化 ===  
==== 循环展开 ====  
减少循环控制开销，示例：  
<syntaxhighlight lang="c">  
// 原始循环  
for (int i = 0; i < n; i++) sum += arr[i];  

// 展开后（假设n为4的倍数）  
for (int i = 0; i < n; i += 4) {  
    sum += arr[i] + arr[i+1] + arr[i+2] + arr[i+3];  
}  
</syntaxhighlight>  

== 数学优化技巧 ==  
=== 1. 前缀和与差分 ===  
将区间操作转化为端点操作，例如计算数组区间和：  
<math>  
\text{sum}(i,j) = \text{prefix}[j] - \text{prefix}[i-1]  
</math>  

=== 2. 快速幂算法 ===  
通过二分幂次降低计算复杂度：  
<syntaxhighlight lang="python">  
def fast_pow(a, b):  
    res = 1  
    while b > 0:  
        if b % 2 == 1:  
            res *= a  
        a *= a  
        b //= 2  
    return res  # 时间复杂度O(log b)  
</syntaxhighlight>  

== 实际应用案例 ==  
=== 案例1：数据库索引优化 ===  
数据库使用[[B+树]]索引替代哈希表，以支持范围查询并减少磁盘I/O次数。  

<mermaid>  
graph TD  
    A[根节点] --> B[内部节点]  
    A --> C[内部节点]  
    B --> D[叶子节点链表]  
    C --> E[叶子节点链表]  
</mermaid>  

=== 案例2：图像处理中的卷积优化 ===  
将二维卷积转为[[im2col]]操作，利用矩阵乘法加速：  
<math>  
\text{Output} = \text{im2col}(Input) \times \text{Kernel}  
</math>  

== 进阶技巧 ==  
* '''位运算优化'''：利用位掩码替代布尔数组（如状态压缩DP）  
* '''并行计算'''：OpenMP或CUDA加速可并行化算法  
* '''近似算法'''：在允许误差时使用（如[[布隆过滤器]]）  

{{Warning|优化前务必进行性能分析！使用Profiler工具定位瓶颈。}}  

== 总结 ==  
算法优化需要结合数学理论、硬件特性和问题场景。关键步骤：  
# 分析原始算法瓶颈  
# 选择匹配的优化策略  
# 验证正确性与性能提升  

{{Exercise|尝试优化以下斐波那契数列计算函数（原始复杂度O(2ⁿ)）：}}  
<syntaxhighlight lang="python">  
def fib(n):  
    if n <= 1: return n  
    return fib(n-1) + fib(n-2)  
</syntaxhighlight>

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[[Category:数据结构与算法]]
[[Category:算法基础]]