编辑“︁随机行走”︁

{{DISPLAYTITLE:随机行走}}  
'''随机行走'''（Random Walk）是一种数学对象，描述由一系列随机步骤组成的路径。它在计算机科学、物理学、金融学、生物学等领域有广泛应用，是理解随机化算法和概率模型的基础工具之一。  

== 基本概念 ==  
随机行走的核心思想是：在每一步，移动的方向或距离由某种概率分布决定。最简单的例子是'''一维随机行走'''，其中每一步以相等概率向左或向右移动一个单位。  

=== 数学定义 ===  
对于离散时间的一维随机行走，定义如下：  
* 设 <math>S_0 = 0</math> 为起点。  
* 第 <math>n</math> 步的位置 <math>S_n</math> 满足：  
  <math>S_n = S_{n-1} + X_n</math>  
  其中 <math>X_n</math> 是独立同分布的随机变量，取值 <math>+1</math> 或 <math>-1</math>，概率各为 <math>1/2</math>。  

== 代码示例 ==  
以下是一个模拟一维随机行走的Python代码：  

<syntaxhighlight lang="python">  
import random  
import matplotlib.pyplot as plt  

def random_walk(steps):  
    position = 0  
    path = [position]  
    for _ in range(steps):  
        step = random.choice([-1, 1])  
        position += step  
        path.append(position)  
    return path  

# 模拟100步随机行走  
walk_path = random_walk(100)  

# 绘制路径  
plt.plot(walk_path)  
plt.xlabel("Step")  
plt.ylabel("Position")  
plt.title("1D Random Walk")  
plt.show()  
</syntaxhighlight>  

'''输入'''：步数（如100）。  
'''输出'''：一个列表，记录每一步的位置，并绘制路径图。  

== 扩展模型 ==  
=== 高维随机行走 ===  
随机行走可以推广到二维、三维或更高维度。例如，二维随机行走中，每一步可能向上、下、左、右移动（各概率 <math>1/4</math>）。  

<mermaid>  
graph LR  
    A[Start] --> B{Step 1}  
    B -->|Up| C[Position + (0,1)]  
    B -->|Down| D[Position + (0,-1)]  
    B -->|Left| E[Position + (-1,0)]  
    B -->|Right| F[Position + (1,0)]  
</mermaid>  

=== 有偏随机行走 ===  
若移动概率不均匀（如向右概率 <math>p > 0.5</math>），则称为有偏随机行走，常用于建模带趋势的过程。  

== 应用案例 ==  
1. '''金融建模'''：股票价格波动常被模拟为随机行走（几何布朗运动）。  
2. '''网络爬虫'''：某些算法通过随机行走抽样网页。  
3. '''分子运动'''：布朗运动是连续时间随机行走的经典例子。  

== 数学性质 ==  
* '''期望位移'''：一维对称随机行走的期望位移为 <math>E[S_n] = 0</math>。  
* '''方差'''：<math>\text{Var}(S_n) = n</math>（步数）。  
* '''返回原点概率'''：在一维和二维中，随机行走最终会返回原点（递归性）；但在三维及以上，此概率小于1。  

== 进阶主题 ==  
=== 蒙特卡洛方法 ===  
随机行走是蒙特卡洛模拟的基础，用于数值积分和优化问题。  

=== 自避免行走 ===  
限制路径不自交，用于模拟聚合物链等物理系统。  

== 总结 ==  
随机行走是连接概率论与算法的桥梁，其简单性和普适性使其成为多学科研究的核心工具。通过调整参数（维度、偏置、步长分布），可适配不同应用场景。  

{{Stub|algorithm}}

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[[Category:数据结构与算法]]
[[Category:随机化算法]]