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'''Lean代数数据类型'''（Algebraic Data Types, ADTs）是函数式编程和类型理论中的核心概念，也是Lean定理证明器中的重要组成部分。它通过组合基本类型（如积类型和和类型）来构造复杂数据结构，为数据建模和形式化验证提供强大工具。本文将系统介绍其定义、语法、应用场景及在Lean中的实现。  

== 概述 ==  
代数数据类型是一种复合类型，由以下两种基本构造方式组成：  
1. '''积类型'''（Product Types）：类似元组或结构体，表示多个值的组合（如 <math>A \times B</math>）。  
2. '''和类型'''（Sum Types）：类似枚举或联合体，表示多个可能的选择（如 <math>A + B</math>）。  

在Lean中，ADTs通过`inductive`关键字定义，支持递归和依赖类型，是形式化数学和编程的基础。  

== 基本语法 ==  
以下是一个简单的ADT定义示例，描述二叉树的形状：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive BinaryTree (α : Type) where  
  | leaf : BinaryTree α  
  | node : BinaryTree α → α → BinaryTree α → BinaryTree α  
</syntaxhighlight>  

* '''解释'''：  
  - `BinaryTree` 是一个泛型类型，参数为 `α`。  
  - `leaf` 是树的终止节点（无子节点）。  
  - `node` 包含左子树、当前节点的值（类型为 `α`）和右子树。  

== 模式匹配与递归 ==  
ADTs通常通过模式匹配处理。例如，计算二叉树节点数：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
def countNodes {α : Type} (t : BinaryTree α) : Nat :=  
  match t with  
  | leaf => 0  
  | node l _ r => 1 + countNodes l + countNodes r  

#eval countNodes (node leaf 5 (node leaf 3 leaf))  -- 输出: 2  
</syntaxhighlight>  

* '''输出说明'''：上述树有根节点5和右子节点3，故结果为2。  

== 实际应用案例 ==  
=== 1. 表达式求值 ===  
定义算术表达式并求值：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive Expr where  
  | num : Nat → Expr  
  | add : Expr → Expr → Expr  
  | mul : Expr → Expr → Expr  

def eval : Expr → Nat  
  | Expr.num n => n  
  | Expr.add a b => eval a + eval b  
  | Expr.mul a b => eval a * eval b  

#eval eval (Expr.add (Expr.num 2) (Expr.mul (Expr.num 3) (Expr.num 4)))  -- 输出: 14  
</syntaxhighlight>  

=== 2. 形式化数学 ===  
在Lean中，逻辑命题可定义为ADT：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive Proposition where  
  | true : Proposition  
  | false : Proposition  
  | and : Proposition → Proposition → Proposition  
  | or : Proposition → Proposition → Proposition  
</syntaxhighlight>  

== 高级主题：依赖代数数据类型 ==  
Lean支持依赖类型，允许类型依赖值。例如，长度索引列表（向量）：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive Vec (α : Type) : Nat → Type where  
  | nil : Vec α 0  
  | cons : α → Vec α n → Vec α (n + 1)  
</syntaxhighlight>  

* '''说明'''：`Vec α n` 表示长度为 `n` 的列表，类型安全地避免了越界访问。  

== 可视化表示 ==  
以下用Mermaid展示`BinaryTree`的结构：  

<mermaid>  
graph TD  
  A[node 5] --> B[leaf]  
  A --> C[node 3]  
  C --> D[leaf]  
  C --> E[leaf]  
</mermaid>  

== 总结 ==  
Lean的代数数据类型提供了强大的抽象能力，适用于：  
* 数据结构建模（如树、图）。  
* 形式化数学（如命题逻辑）。  
* 类型安全设计（如依赖类型）。  

通过`inductive`定义和模式匹配，开发者可以高效实现复杂逻辑并验证正确性。

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