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= Lean分析库 =

'''Lean分析库'''（Mathlib/Analysis）是[[Lean定理证明器]]数学库（Mathlib）的核心组成部分，专注于形式化数学分析中的基础概念，包括极限、连续性、微分、积分、级数等。它为程序员和数学家提供了严格的计算机验证工具，适用于从实数运算到泛函分析的高级领域。

== 核心概念 ==

分析库建立在Lean的类型论和公理化集合论基础上，其设计遵循以下原则：

=== 1. 实数与拓扑结构 ===
分析库以实数系统<math>\mathbb{R}</math>为核心，通过[[完备性公理]]和[[拓扑空间]]定义构建基础框架：
<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.Pow

-- 实数平方根的定义示例
example (x : ℝ) (h : x ≥ 0) : ∃! y, y ≥ 0 ∧ y^2 = x := 
exists_unique_sqrt h
</syntaxhighlight>

=== 2. 过滤器与极限 ===
采用现代数学的[[过滤器]]理论统一处理极限概念：
<mermaid>
graph LR
    A[序列极限] --> B[过滤器极限]
    B --> C[函数极限]
    B --> D[网极限]
    C --> E[连续性]
</mermaid>

== 关键模块 ==

{| class="wikitable"
|+ 主要子模块功能
! 模块名称 !! 功能描述 !! 典型应用

| Topology || 拓扑空间与连续映射 || 证明连续性定理

| Calculus || 微积分基本定理 || 自动微分计算

| Measure || 测度与积分理论 || 概率论形式化
|}

== 实际案例 ==

=== 连续性证明 ===
展示函数连续性的形式化证明：
<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff

-- 证明多项式函数处处连续
example (f : ℝ → ℝ) (hf : ∃ (p : ℝ[X]), ∀ x, f x = p.eval x) : 
  Continuous f := by
  rcases hf with ⟨p, hp⟩
  simp_rw [hp]
  exact Polynomial.continuous p
</syntaxhighlight>

=== 积分计算 ===
演示勒贝格积分的定义与应用：
<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.MeasureTheory.Integral.Lebesgue

-- 简单函数的积分计算示例
example (f : ℝ → ℝ) (hf : Measurable f) (hfi : Integrable f) : 
  ∫ x, f x ∂volume = ∫ x in [0,1], f x ∂volume + ∫ x in (1,∞), f x ∂volume :=
integral_split_union hfi measurableSet_Ioc
</syntaxhighlight>

== 高级特性 ==

=== 渐近分析 ===
使用O记号进行算法复杂度分析：
<math>f(n) = O(g(n)) \text{ 当 } \exists c>0, n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |f(n)| \leq c|g(n)|</math>

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Analysis.Asymptotics.Asymptotics

-- 证明线性时间复杂度
example : (λ n : ℕ, 3*n + 2) =O[atTop] (λ n, n) :=
  isBigO_of_le _ <| by simpa using fun n => add_le_add (le_refl _) (by norm_num)
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==

对于初学者，建议按以下路径学习：
1. 先掌握基础实数理论
2. 理解过滤器抽象
3. 从具体案例（如ε-δ证明）入手
4. 逐步过渡到泛函分析

分析库与Mathlib其他部分的交互关系：
<mermaid>
graph TD
    Analysis --> Algebra[线性代数]
    Analysis --> Topology[点集拓扑]
    Analysis --> Probability[概率论]
    Probability --> Statistics[统计推断]
</mermaid>

== 参见 ==
* [[Lean基本语法]]
* [[数学证明的形式化方法]]
* [[函数式编程与定理证明]]

该库持续发展，最新特性建议参考Mathlib官方文档。通过交互式证明和计算实验相结合的方式，用户可以深入理解现代分析学的计算基础。

[[Category:计算机科学]]
[[Category:Lean]]
[[Category:Lean与数学库]]