编辑“︁Lean学术论文”︁

= Lean学术论文 =

== 介绍 ==  
'''Lean学术论文'''是指使用Lean定理证明器（Lean Prover）进行形式化验证的数学或计算机科学论文。这类论文不仅包含传统论文中的自然语言描述，还包含可执行的Lean代码，确保所有证明和结论均可通过计算机验证。Lean的核心理念是'''“严格的形式化”'''，它允许研究者将数学理论编码为精确的机器可检查形式，从而避免传统数学证明中可能存在的隐性假设或逻辑漏洞。

Lean学术论文通常分为两类：  
1. '''理论性论文'''：侧重于数学定理的形式化证明（如数论、代数拓扑等）。  
2. '''应用性论文'''：关注程序验证、算法正确性或系统设计的形式化（如编译器优化、区块链协议等）。  

== 核心特点 ==  
* '''可复现性'''：所有证明步骤均可通过Lean重新验证。  
* '''交互性'''：读者可以逐行检查证明过程，甚至修改假设以观察结论变化。  
* '''模块化'''：依赖Lean的库（如Mathlib）复用已有形式化结果。  

== 代码示例 ==  
以下是一个简单的Lean学术论文片段，展示如何形式化“自然数的加法交换律”：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
-- 定义自然数及加法  
inductive Nat where  
  | zero : Nat  
  | succ (n : Nat) : Nat  

def add : Nat → Nat → Nat  
  | n, Nat.zero   => n  
  | n, Nat.succ m => Nat.succ (add n m)  

-- 证明加法交换律  
theorem add_comm (a b : Nat) : add a b = add b a := by  
  induction b with  
  | zero => simp [add]  
  | succ b ih => rw [add, ih, ← Nat.succ_eq_add_one, add_succ]  
</syntaxhighlight>  

'''输入'''：`add_comm 2 3`  
'''输出'''：`5 = 5`（通过归一化计算验证）  

== 实际应用案例 ==  
=== 案例1：四色定理的形式化 ===  
2005年，Georges Gonthier使用Coq（类似Lean的工具）完成了四色定理的完全形式化验证。在Lean社区中，类似的项目（如'''数学库Mathlib'''）正在形式化更复杂的定理，例如：  
* 费马小定理  
* 哥德尔不完备定理  

=== 案例2：操作系统验证 ===  
2021年，MIT团队使用Lean形式化验证了一个微型操作系统内核的内存安全性，确保无缓冲区溢出等漏洞。  

== 学术资源与工具 ==  
以下表格列出Lean学术论文的常用工具链：  

{| class="wikitable"  
|+ Lean学术论文工具链  
! 工具名称 !! 用途  
|-  
| Lean 4 || 最新版本的定理证明器  
|-  
| Mathlib || 标准数学库（覆盖分析、代数等）  
|-  
| LeanDojo || 交互式证明辅助工具  
|-  
| Zulip || Lean社区实时讨论平台  
|}  

== 图表：Lean论文工作流程 ==  
<mermaid>  
flowchart TD  
    A[提出数学猜想] --> B[编写Lean形式化定义]  
    B --> C[交互式证明开发]  
    C --> D{验证通过？}  
    D -->|是| E[生成PDF/HTML论文]  
    D -->|否| C  
</mermaid>  

== 数学公式支持 ==  
Lean学术论文中常嵌入公式，例如柯西-施瓦茨不等式：  
<math>\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)</math>  

== 进阶建议 ==  
* 阅读'''《Theorem Proving in Lean》'''官方教程。  
* 参与Mathlib的形式化项目（如贡献简单引理）。  
* 关注顶级会议（如ITP、CPP）的Lean相关论文。  

== 总结 ==  
Lean学术论文代表了数学与计算机科学交叉领域的前沿方向，通过形式化方法将抽象理论转化为可执行规范。对于初学者，建议从小型证明入手；对于高级用户，可挑战复杂系统验证或未形式化的经典定理。

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[[Category:Lean社区与资源]]