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= Lean导入与模块 =

== 介绍 ==
在Lean编程语言中，'''导入（Import）'''和'''模块（Module）'''是组织代码的基本机制。模块允许将相关定义分组到逻辑单元中，而导入机制则使一个模块能够访问另一个模块的内容。理解这些概念对于构建可维护的Lean项目至关重要。

Lean采用类似其他函数式语言（如Haskell）的模块系统，但具有依赖类型理论特有的功能。模块可以包含：
* 定义（Definitions）
* 定理（Theorems）
* 公理（Axioms）
* 其他模块的导入

== 基本语法 ==

=== 模块声明 ===
每个Lean文件自动成为一个模块。模块名通常与文件名匹配（去掉.lean扩展名）：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 文件: MyModule.lean
module MyModule where

def myFunction := "Hello"
</syntaxhighlight>

=== 导入语句 ===
使用`import`关键字导入其他模块：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import MyOtherModule
</syntaxhighlight>

== 导入机制详解 ==

=== 基本导入 ===
最简单的形式是直接导入整个模块：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Init.Core
</syntaxhighlight>

这会导入Init.Core模块中的所有定义，可通过完全限定名访问（如`Init.Core.true`）。

=== 限定导入 ===
可以给导入的模块指定别名：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Init.Data.List as List
</syntaxhighlight>

现在可以通过`List.`前缀访问该模块内容。

=== 选择性导入 ===
只导入模块的特定部分：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Init.Data.List (cons, nil)
</syntaxhighlight>

=== 开放命名空间 ===
使用`open`命令避免重复输入长前缀：

<syntaxhighlight lang="lean">
open Nat
-- 现在可以直接使用succ而不是Nat.succ
</syntaxhighlight>

== 模块组织最佳实践 ==

=== 模块层次结构 ===
良好的模块结构通常反映领域概念：

<mermaid>
graph TD
    A[Mathlib] --> B[Algebra]
    A --> C[Analysis]
    B --> D[Group]
    B --> E[Ring]
    C --> F[Calculus]
    C --> G[Topology]
</mermaid>

=== 避免循环依赖 ===
Lean不允许模块间的循环导入。设计时应遵循：

<mermaid>
graph LR
    A[Core] --> B[Utilities]
    B --> C[Features]
</mermaid>

而不是：

<mermaid>
graph LR
    A --> B
    B --> C
    C --> A
</mermaid>

== 实际案例 ==

=== 数学库示例 ===
以下是Mathlib中典型的导入结构：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Algebra.Group.Defs
import Mathlib.Data.Nat.Basic
import Mathlib.Tactic

open Nat
open Group
</syntaxhighlight>

=== 项目结构示例 ===
假设我们构建一个几何库：

```
Geometry/
├── Basic/
│   ├── Points.lean
│   └── Vectors.lean
├── Shapes/
│   ├── Circles.lean
│   └── Polygons.lean
└── Geometry.lean
```

Geometry.lean内容：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Geometry.Basic.Points
import Geometry.Basic.Vectors
import Geometry.Shapes.Circles
import Geometry.Shapes.Polygons
</syntaxhighlight>

== 高级主题 ==

=== 私有定义 ===
使用`private`关键字限制定义的可见性：

<syntaxhighlight lang="lean">
private def internalHelper := 42

def publicFunction := internalHelper + 1
</syntaxhighlight>

`internalHelper`只能在当前模块访问。

=== 模块参数化 ===
Lean支持参数化模块（类似函子）：

<syntaxhighlight lang="lean">
module MyModule (α : Type) where

def identity (x : α) : α := x
</syntaxhighlight>

== 常见问题 ==

'''Q: 如何解决"unknown identifier"错误？'''
A: 确保：
1. 已正确导入包含该定义的模块
2. 拼写正确（包括大小写）
3. 如果需要，已打开正确的命名空间

'''Q: 导入顺序是否重要？'''
A: 通常不重要，但会影响实例解析顺序。有冲突时应明确限定。

== 数学表示 ==
模块系统可以形式化为：

<math>
\mathcal{M} ::= \mathbf{module}\ M\ \mathbf{where}\ \overline{\mathcal{D}}\ |\ \mathbf{import}\ M\ [\mathbf{as}\ A]\ [(\overline{s})]
</math>

其中：
* <math>\mathcal{M}</math>是模块声明
* <math>\overline{\mathcal{D}}</math>是定义序列
* <math>M</math>是模块名
* <math>A</math>是别名
* <math>\overline{s}</math>是选择性导入的符号列表

== 总结 ==
Lean的模块系统提供了：
* 代码组织的基本单元
* 可控的可见性机制
* 避免命名冲突的手段
* 逻辑分组的便利

正确使用导入和模块能显著提高代码的可维护性和重用性。初学者应从简单的平面结构开始，随着项目增长逐步引入层次结构。

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