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= Lean最佳实践 =

== 介绍 ==
'''Lean最佳实践'''是指在Lean编程语言（或Lean定理证明器）中，经过社区验证的高效、可维护且符合语言设计哲学的编码与证明方法。这些实践涵盖代码结构、证明策略选择、命名规范、性能优化等方面，旨在帮助开发者编写更清晰、更健壮的数学形式化代码或程序。

对于初学者，遵循最佳实践能快速规避常见陷阱；对于高级用户，则能深入理解Lean的类型系统与元编程特性。本章节将系统性地介绍核心原则，并提供可落地的示例。

== 核心原则 ==

=== 1. 可读性优先 ===
Lean代码应优先服务于人类阅读需求，尤其在形式化数学中。关键实践包括：
* 使用描述性标识符（如用`prime_nat`而非`p`表示“自然数是素数”）
* 分层组织证明步骤（通过`calc`或`by`区块）
* 避免过度简化的链式策略（如连续使用`;`合并无关步骤）

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 反例：难以阅读的紧凑写法
theorem bad_example : ∀ n, n + 0 = n := by intros; simp

-- 正例：分步注释
theorem add_zero_right (n : ℕ) : n + 0 = n := by
  induction n with
  | zero => simp
  | succ n ih => simp [ih]
</syntaxhighlight>

=== 2. 类型驱动开发 ===
充分利用Lean强大的类型系统：
* 使用'''类型类'''（如`Monoid`）而非具体实现
* 优先定义'''结构类型'''而非元组
* 通过`#check`和`#eval`交互验证类型推断

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 定义可复用的代数结构
structure Point where
  x : Float
  y : Float
  deriving Repr

-- 类型类实例
instance : Add Point where
  add a b := { x := a.x + b.x, y := a.y + b.y }

#eval { x := 1.0, y := 2.0 } + { x := 3.0, y := 4.0 }  -- 输出: { x := 4.0, y := 6.0 }
</syntaxhighlight>

=== 3. 证明结构化 ===
复杂证明应分解为逻辑单元：
* 使用`lemma`辅助定理
* 利用`have`引入中间目标
* 可视化证明依赖关系（通过Mermaid）

<mermaid>
graph TD
  A[Main Theorem] --> B[Lemma 1]
  A --> C[Lemma 2]
  B --> D[Sublemma 1.1]
  C --> E[Sublemma 2.1]
</mermaid>

示例：
<syntaxhighlight lang="lean">
lemma even_square (n : ℕ) (h : Even n) : Even (n^2) := by
  rw [Even] at h ⊢
  obtain ⟨k, hk⟩ := h
  use 2 * k^2
  linear_combination hk
</syntaxhighlight>

== 性能优化 ==

=== 1. 惰性求值 ===
在可能的情况下使用'''惰性数据结构'''（如`LazyList`）：
<syntaxhighlight lang="lean">
def fibonacci : LazyList ℕ :=
  LazyList.cons 0 <| LazyList.cons 1 <| 
  fibonacci.zipWith fibonacci.tail (. + .)
</syntaxhighlight>

=== 2. 内存管理 ===
* 使用`@[inline]`标注高频访问函数
* 避免在热循环中创建临时列表（改用`Array`）

== 实际案例 ==

=== 形式化数学 ===
在数学库Mathlib中，素数定理的形式化采用分层证明：
1. 定义素数谓词
2. 证明基本性质（如无穷性）
3. 构建渐进关系

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem primes_infinite : Infinite { p : ℕ | Prime p } := by
  apply Infinite.of_injective (fun n => Nat.factorial n + 1)
  -- 关键步骤使用最小反例法
  intro a b h; simp at h; exact Nat.dvd_factorial.mp h
</syntaxhighlight>

=== 程序验证 ===
验证快速排序的正确性需要：
* 定义排序规范（`IsSorted`）
* 证明划分保持性质
* 递归终止性验证

<mermaid>
flowchart LR
  A[输入列表] --> B{长度≤1?}
  B -->|是| C[直接返回]
  B -->|否| D[选择基准]
  D --> E[划分列表]
  E --> F[递归排序]
  F --> G[合并结果]
</mermaid>

== 进阶技巧 ==

=== 元编程 ===
使用宏（`macro`）自动化重复模式：
<syntaxhighlight lang="lean">
macro "auto_induction" x:ident : tactic => 
  `(tactic| induction $x with | zero => simp | succ n ih => simp [ih])

theorem auto_example : ∀ n, n + 0 = n := by
  auto_induction n  -- 自动生成归纳证明
</syntaxhighlight>

=== 类型论技巧 ===
利用等式编译器处理依赖类型：
<math>
\mathsf{transport} : \prod_{A:\mathcal{U}} \prod_{P:A \to \mathcal{U}} \prod_{x,y:A} (x = y) \to P(x) \to P(y)
</math>

== 总结表 ==
{| class="wikitable"
|+ 实践对照表
! 场景 !! 反模式 !! 推荐实践
|-
| 证明组织 || 200行连续策略 || 分解为5个引理
|-
| 数据结构 || 嵌套`List` || 使用`Array`或`HashMap`
|-
| 类型设计 || 原始类型参数 || 封装为`NewType`
|}
通过持续应用这些实践，开发者能显著提升Lean项目的可维护性与形式化可靠性。

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