编辑“︁Lean有理数”︁

{{DISPLAYTITLE:Lean有理数}}

== 简介 ==
'''有理数'''在数学中定义为可以表示为两个整数之比的数，即形如<math>\frac{a}{b}</math>（其中<math>b \neq 0</math>）的数。在Lean定理证明器中，有理数作为基础数学对象被实现，并支持完整的算术运算和证明功能。本章将详细介绍Lean中有理数的定义、操作及实际应用。

== Lean中的有理数表示 ==
在Lean中，有理数类型为<code>ℚ</code>（可通过<code>\Q</code>输入），其底层实现基于分子和分母的规范化存储。以下是一个简单的定义示例：

<syntaxhighlight lang="lean">
import data.rat.basic

-- 定义有理数
def q1 : ℚ := 3 / 4  -- 正有理数
def q2 : ℚ := -2 / 5 -- 负有理数
</syntaxhighlight>

=== 规范化特性 ===
Lean会自动将有理数化简为最简形式，并保证分母为正。例如：
<syntaxhighlight lang="lean">
#eval (6 / 8 : ℚ)  -- 输出: 3/4
#eval (-4 / -10 : ℚ) -- 输出: 2/5
</syntaxhighlight>

== 基本运算 ==
Lean支持有理数的标准算术运算：
<syntaxhighlight lang="lean">
#eval (1/2 + 1/3 : ℚ)  -- 输出: 5/6
#eval (3/4 * 2/3 : ℚ)  -- 输出: 1/2
#eval (5/6 - 1/6 : ℚ)  -- 输出: 2/3
#eval (3/4 / 2/3 : ℚ)  -- 输出: 9/8
</syntaxhighlight>

== 比较操作 ==
有理数可通过<code>==</code>, <code><</code>, <code>></code>等运算符比较：
<syntaxhighlight lang="lean">
#eval (1/2 < 2/3 : bool)  -- 输出: tt (true)
#eval (3/4 == 6/8 : bool) -- 输出: tt (true)
</syntaxhighlight>

== 实际案例：分数计算器 ==
以下是一个用Lean实现简单分数计算的例子：
<syntaxhighlight lang="lean">
import data.rat.basic

def add_fractions (a b : ℚ) : ℚ := a + b

-- 计算1/2 + 1/4
#eval add_fractions (1/2) (1/4)  -- 输出: 3/4
</syntaxhighlight>

== 数学证明中的应用 ==
有理数在数学证明中常用于比例关系的推导。例如证明加法交换律：
<syntaxhighlight lang="lean">
theorem rat_add_comm (a b : ℚ) : a + b = b + a :=
begin
  rw add_comm,  -- 使用内置的加法交换律
end
</syntaxhighlight>

== 高级主题：有理数与其他类型的转换 ==
=== 与整数的转换 ===
<syntaxhighlight lang="lean">
#check rat.cast_int  -- ℤ → ℚ的转换函数
#eval (rat.cast_int 3 : ℚ)  -- 输出: 3/1
</syntaxhighlight>

=== 与自然数的转换 ===
<syntaxhighlight lang="lean">
#check rat.cast_nat  -- ℕ → ℚ的转换函数
#eval (rat.cast_nat 5 : ℚ)  -- 输出: 5/1
</syntaxhighlight>

== 性能考虑 ==
有理数运算会产生约分操作，在性能敏感场景需注意：
* 分子分母的值域（避免大整数运算）
* 频繁运算的累积开销

== 常见问题 ==
=== 为什么<code>1/2</code>在Lean中不是有理数？ ===
在Lean中，未指定类型时<code>1/2</code>会默认为自然数除法（结果为0）。必须显式声明类型：
<syntaxhighlight lang="lean">
#eval (1/2 : ℚ)  -- 正确输出: 1/2
</syntaxhighlight>

=== 如何提取有理数的分子和分母？ ===
使用<code>rat.num</code>和<code>rat.denom</code>：
<syntaxhighlight lang="lean">
#eval rat.num (3/4)  -- 输出: 3
#eval rat.denom (3/4) -- 输出: 4
</syntaxhighlight>

== 总结 ==
Lean的有理数实现提供了完整的数学运算和证明支持，其特性包括：
* 自动规范化存储
* 完备的算术运算体系
* 与其他数字类型的无缝转换
* 数学证明友好的表示形式

通过合理使用有理数，可以构建精确的数学模型和算法实现。

[[Category:计算机科学]]
[[Category:Lean]]
[[Category:Lean数学基础]]