编辑“︁Lean活性证明”︁

{{DISPLAYTITLE:Lean活性证明}}  
{{Note|本条目适用于正在学习[[Lean定理证明器]]的程序验证基础知识的用户。内容涵盖从基础定义到实际案例的完整知识链。}}  

== 概述 ==  
'''活性证明'''（Liveness Proof）是程序验证中用于确保系统最终会达到期望状态的性质，与安全性（Safety）相对。在[[Lean]]中，活性证明通常涉及不动点、归纳构造或时序逻辑（如线性时序逻辑LTL）的形式化验证。  

典型活性性质包括：  
* '''终止性'''（Termination）：程序最终会停止  
* '''公平性'''（Fairness）：每个请求最终会被处理  
* '''响应性'''（Responsiveness）：系统必然对输入产生响应  

== 数学基础 ==  
活性性质可表示为时序逻辑公式。例如，在LTL中：  
<math>\Diamond P \equiv \text{"最终 }P\text{ 成立"}</math>  
其中<math>\Diamond</math>是"eventually"算子。  

== Lean中的活性证明方法 ==  

=== 1. 终止性证明 ===  
通过**良基关系**（Well-founded Relation）证明循环或递归的终止：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
def factorial : ℕ → ℕ  
| 0 := 1  
| (n+1) := (n+1) * factorial n  

termination_by factorial n => n  -- 显式声明度量标准  
</syntaxhighlight>  

证明结构：  
1. 选择度量函数（如自然数大小）  
2. 证明每次递归调用度量值严格减小  
3. Lean自动验证良基性  

=== 2. 公平性证明 ===  
使用**调度不变式**证明并发系统的公平性：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive ScheduleEvent  
| threadA | threadB  

def fair_scheduler (events : List ScheduleEvent) : Prop :=  
  ∀ t, (∃ infinitely_many, events.count t = infinitely_many)  
</syntaxhighlight>  

=== 3. 响应性证明 ===  
通过**状态机归纳**证明系统响应：  

<mermaid>  
stateDiagram-v2  
    [*] --> Idle  
    Idle --> Processing: Request  
    Processing --> Idle: Response  
    Processing --> Processing: Timeout  
</mermaid>  

对应Lean形式化：  
<syntaxhighlight lang="lean">  
inductive SystemState  
| idle | processing  

def responsive (trace : List SystemState) : Prop :=  
  ∀ s ∈ trace, s = SystemState.processing →  
    ∃ later_state ∈ trace, later_state = SystemState.idle  
</syntaxhighlight>  

== 实际案例 ==  

=== 案例1：互斥锁实现 ===  
证明锁服务最终会释放：  

<syntaxhighlight lang="lean">  
theorem lock_liveness :  
  ∀ (lock_state : LockSystem),  
    is_locked lock_state →  
    ◇ (is_unlocked lock_state) :=  
by  
  apply well_founded_induction  
  ... -- 具体证明步骤  
</syntaxhighlight>  

=== 案例2：分布式共识算法 ===  
使用**活序理论**证明Paxos算法的活性：  

<mermaid>  
sequenceDiagram  
    participant Proposer  
    participant Acceptor  
    Proposer->>Acceptor: Prepare(n)  
    Acceptor-->>Proposer: Promise(n,v)  
    Proposer->>Acceptor: Accept(n,v)  
    Acceptor-->>Proposer: Accepted  
</mermaid>  

对应活性条件：  
<math>\Diamond (\text{∃! decidedValue})</math>  

== 常见错误与调试 ==  
{| class="wikitable"  
! 错误类型 !! 现象 !! 解决方案  
|-  
| 错误度量函数 || 无法证明终止 || 改用字典序或复合度量  
|-  
| 不完整归纳 || 证明卡住 || 添加更强的归纳假设  
|-  
| 时序逻辑误用 || 验证失败 || 检查LTL公式的嵌套作用域  
|}  

== 进阶主题 ==  
* '''拓扑活性'''：使用拓扑学方法证明无限行为性质  
* '''概率活性'''：验证概率系统的几乎必然（almost surely）性质  
* '''并发活性模式'''：如"等待自由"（wait-freedom）的验证  

{{Tip|活性证明常需结合安全性验证。在Lean中可同时使用`SafetyInvariant`和`LivenessTemplate`策略构建完整规范。}}

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[[Category:Lean]]
[[Category:Lean程序验证]]