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= Lean游戏逻辑验证 =

== 介绍 ==  
'''Lean游戏逻辑验证'''是指使用Lean定理证明器来形式化验证游戏中的逻辑规则、机制或算法。Lean作为一种交互式定理证明工具，能够帮助开发者确保游戏逻辑的严谨性，避免潜在的漏洞或矛盾。该技术尤其适用于回合制策略游戏、棋盘游戏或任何需要严格规则验证的场景。

对于初学者，本节将逐步引导如何用Lean表达游戏规则；对于高级用户，将展示如何验证复杂游戏属性（如公平性、终止性）。核心优势包括：
* '''数学严谨性'''：用形式化方法替代人工测试
* '''可复用性'''：已验证的规则可作为库函数调用
* '''早期纠错'''：在编码前发现规则设计缺陷

== 基础示例：井字棋规则验证 ==  
以下代码定义井字棋的基本规则并验证“胜利条件”的正确性：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 定义棋盘为3x3矩阵
inductive Player | X | O
def Board := Matrix (Fin 3) (Fin 3) (Option Player)

-- 胜利条件：某玩家在行/列/对角线上连成一线
def wins (p : Player) (b : Board) : Prop :=
  (∃ i : Fin 3, ∀ j, b i j = some p) ∨  -- 任意行
  (∃ j : Fin 3, ∀ i, b i j = some p) ∨  -- 任意列
  (∀ i : Fin 3, b i i = some p) ∨       -- 主对角线
  (∀ i : Fin 3, b i (2 - i) = some p)   -- 副对角线

-- 验证：如果某行全为X，则wins X返回true
example (b : Board) (h : ∀ j, b 0 j = some Player.X) : wins Player.X b :=
by simp [wins]; left; exact ⟨0, h⟩
</syntaxhighlight>

'''输入'''：假设第0行全部被玩家X占据  
'''输出'''：Lean成功证明`wins Player.X b`成立  
'''解释'''：通过模式匹配和存在量词（∃）验证行胜利条件

== 高级案例：国际象棋王车易位 ==  
验证国际象棋中王车易位的合法性条件：

<mermaid>
stateDiagram-v2
    [*] --> 初始状态
    初始状态 --> 王未移动: 检查王历史位置
    初始状态 --> 车未移动: 检查车历史位置
    王未移动 --> 路径未被攻击: 验证a1-d1无威胁
    车未移动 --> 路径未被攻击
    路径未被攻击 --> 执行易位: 满足所有条件
</mermaid>

对应Lean形式化：

<syntaxhighlight lang="lean">
structure CastleRights := (king_side queen_side : Bool)
structure GameState := (board : Board) (castling : CastleRights)

def can_castle (s : GameState) (side : Bool) : Prop :=
  s.castling.king_side ∧  -- 王车均未移动
  (∀ i, ¬ square_under_attack s i)  -- 路径安全
  ∧ (side → clear_path s)           -- 空间充足

lemma castle_safe (s : GameState) (h : can_castle s true) :
  ∃ s', perform_castle s = some s' :=
by sorry  -- 正式证明需约200行策略代码
</syntaxhighlight>

== 数学原理 ==  
游戏验证的核心是将规则转化为'''一阶逻辑公式'''。例如，棋盘游戏的终止性可表示为：

<math>
\forall g \in GameStates,\ \exists n \in \mathbb{N},\ steps(g) \leq n
</math>

Lean通过以下方式实现验证：
1. '''归纳数据类型'''定义游戏状态
2. '''递归函数'''描述状态转移
3. '''量词与命题'''表达不变性

== 实战技巧 ==  
'''初学者建议'''：
* 从简单棋类游戏开始（如五子棋）
* 优先验证静态规则（如移动边界检查）
* 使用`#check`命令快速测试命题

'''高级技巧'''：
* 使用`calc`结构进行多步推理
* 用`have`语句分解复杂证明
* 通过`simp`自动化简化重复目标

== 应用场景 ==  
1. '''卡牌游戏'''：验证发牌概率符合设计  
   ```lean
   theorem draw_prob : ∀ deck, (card_count deck > 0) → 
     probability (draw_heart) = hearts_count / card_count := ...
   ```
2. '''RPG技能系统'''：证明技能冷却时间单调递减  
3. '''网络同步协议'''：验证游戏状态同步的因果一致性

== 常见错误 ==  
{| class="wikitable"
|+ 典型错误模式
! 错误类型 !! 示例 !! 修正方法
|-
| 不完整规则 || 只验证行胜利忽略列 || 添加`∨`分支
|-
| 隐式假设 || 假设棋盘总是3x3 || 参数化尺寸`(n : Nat)`
|-
| 非终止递归 || 未证明游戏结束 || 添加`measure`函数
|}

== 延伸阅读 ==  
* 使用`decreasing_by`证明递归终止  
* 通过`Aesop`策略自动化验证  
* 结合`Lean Game Engine`实现可玩验证

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[[Category:Lean]]
[[Category:Lean实践项目]]