编辑“︁Lean组合数学库”︁

= Lean组合数学库 =

== 介绍 ==

'''Lean组合数学库'''（Combinatorics Library in Lean）是[[Lean定理证明器]]中专门用于处理组合数学问题的形式化数学库。它为离散结构（如集合、图、排列、组合等）提供了严格的数学定义和证明工具，使程序员和数学家能够在形式化验证环境中研究组合问题。

组合数学库的核心目标是：
* 提供组合对象的精确定义（如排列、组合、图等）
* 实现基础组合函数的算法验证
* 建立组合恒等式和定理的证明框架
* 支持高级组合结构的构造和分析

该库特别适合需要验证算法正确性或研究离散数学问题的用户。

== 核心概念 ==

=== 基本组合类型 ===

Lean组合数学库定义了以下基础类型：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 有限集合
def FinSet (α : Type) := {s : Set α // Set.Finite s}

-- 组合数（n选k）
def choose (n k : ℕ) : ℕ := n! / (k! * (n - k)!)

-- 排列数
def perm (n k : ℕ) : ℕ := n! / (n - k)!
</syntaxhighlight>

=== 组合恒等式 ===

库中包含了常见组合恒等式的证明，例如：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem pascal_identity (n k : ℕ) (h : k ≤ n) :
  choose (n + 1) (k + 1) = choose n k + choose n (k + 1) :=
by rw [choose, choose, choose]; ring
</syntaxhighlight>

== 实际应用案例 ==

=== 案例1：计算子集数量 ===

证明一个n元素集合有2ⁿ个子集：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem pow_set_card (α : Type) [Fintype α] :
  Finset.card (Finset.powerset (Finset.univ : Finset α)) = 2 ^ Fintype.card α :=
by simp [Finset.card_powerset]
</syntaxhighlight>

=== 案例2：图论应用 ===

定义简单图并验证握手定理：

<syntaxhighlight lang="lean">
structure SimpleGraph (V : Type) :=
(Adj : V → V → Prop)
(symm : Symmetric Adj)
(loopless : Irreflexive Adj)

theorem handshaking (G : SimpleGraph V) [Fintype V] :
  2 * (∑ v, G.degree v) = Fintype.card {e : Sym2 V // G.Adj e.1 e.2} :=
-- 证明略
</syntaxhighlight>

== 可视化表示 ==

使用mermaid展示组合关系：

<mermaid>
graph TD
    A[组合数学库] --> B[基础组合]
    A --> C[图论]
    A --> D[设计理论]
    B --> E[排列组合]
    B --> F[生成函数]
    C --> G[图算法]
    C --> H[网络流]
    D --> I[拉丁方]
    D --> J[区组设计]
</mermaid>

== 数学公式支持 ==

库中涉及的重要公式：

* 容斥原理：
<math>
\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left( \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} |A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_k}| \right)
</math>

* 斯特林数递推关系：
<math>
\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} = k\begin{Bmatrix}n-1\\ k\end{Bmatrix} + \begin{Bmatrix}n-1\\ k-1\end{Bmatrix}
</math>

== 进阶主题 ==

=== 生成函数 ===

库中支持形式幂级数操作：

<syntaxhighlight lang="lean">
def egf (f : ℕ → ℂ) : PowerSeries ℂ :=
  PowerSeries.mk (λ n, (f n) / n! )
</syntaxhighlight>

=== 组合设计 ===

定义平衡不完全区组设计(BIBD)：

<syntaxhighlight lang="lean">
structure BIBD where
  points : Type
  blocks : Set (Set points)
  v : ℕ  -- 点数
  b : ℕ  -- 区组数
  r : ℕ  -- 每个点出现的次数
  k : ℕ  -- 区组大小
  λ : ℕ  -- 每对点出现的次数
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==

对于初学者建议的学习路径：
1. 先掌握Lean基础语法
2. 理解Finite类型和集合操作
3. 从简单组合函数（如阶乘、组合数）开始
4. 逐步过渡到更复杂的结构（如图、设计）

高级用户可以直接研究：
* 组合优化问题的形式化
* 随机组合结构的概率分析
* 与其他数学库的交互（如数论、代数）

== 总结 ==

Lean组合数学库为形式化组合数学提供了强大工具，它：
* 严格定义了组合对象和操作
* 验证了经典组合算法
* 支持高级研究课题
* 可与其他数学领域交互

通过这个库，用户可以在保证绝对正确性的前提下探索组合世界，特别适合算法验证和数学研究。

[[Category:计算机科学]]
[[Category:Lean]]
[[Category:Lean与数学库]]