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= Lean证明简介 =

'''Lean证明简介'''是学习Lean定理证明器的第一步，它介绍了如何在Lean中构造数学证明的基本概念和方法。Lean是一个基于依赖类型理论的交互式定理证明器，允许用户以形式化的方式表达数学命题并构造严格的证明。本节将引导初学者了解Lean证明的核心思想、语法结构以及基础应用。

== 什么是Lean证明？ ==

在Lean中，'''证明'''（Proof）是一个构造过程，通过应用逻辑规则和已有的定理，逐步推导出目标命题的正确性。Lean的核心思想是将数学证明转化为可计算的程序，其中每个证明步骤都对应着类型检查的过程。具体来说：

* '''命题即类型'''：在Lean中，每个数学命题被表示为一个类型（Type），而该命题的证明则是该类型的项（Term）。例如，命题“1 + 1 = 2”对应的类型是<code>1 + 1 = 2</code>，而它的证明是一个具体的项（如<code>rfl</code>，表示自反性）。
* '''构造证明'''：用户通过编写代码（如策略（Tactics）或直接构造项）来生成证明对象。Lean的类型检查器会验证这些证明是否符合逻辑规则。

== 基础语法与示例 ==

以下是一个简单的Lean证明示例，展示了如何证明一个等式命题：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 引入Lean的标准库
import Mathlib.Tactic

-- 定义一个简单的命题：证明 1 + 1 = 2
example : 1 + 1 = 2 := by
  -- 使用`rfl`策略（自反性）自动完成证明
  rfl
</syntaxhighlight>

'''输出'''：Lean接受此证明，因为<code>1 + 1</code>和<code>2</code>在定义上是相等的。

=== 分步解释 ===
1. <code>example</code>关键字用于声明一个匿名命题。
2. <code>1 + 1 = 2</code>是命题的类型，也是需要证明的目标。
3. <code>:= by</code>表示接下来的内容是一个证明脚本。
4. <code>rfl</code>是“自反性”策略，用于证明两个完全相同的表达式相等。

== 证明策略（Tactics） ==

Lean提供了丰富的策略来辅助证明构造。以下是初学者常用的策略：

{| class="wikitable"
|-
! 策略名称 !! 用途 !! 示例
|-
| <code>rfl</code> || 证明自反性等式 || <code>example : x = x := by rfl</code>
|-
| <code>exact</code> || 直接提供证明项 || <code>example (h : P) : P := by exact h</code>
|-
| <code>apply</code> || 应用定理或假设 || <code>example (h : P → Q) (hp : P) : Q := by apply h; exact hp</code>
|-
| <code>intro</code> || 引入假设或变量 || <code>example : P → P := by intro h; exact h</code>
|}

== 实际案例：证明自然数加法结合律 ==

以下是一个更复杂的例子，展示如何证明自然数加法的结合律：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Tactic

theorem add_assoc (a b c : ℕ) : (a + b) + c = a + (b + c) := by
  -- 对`a`进行归纳法
  induction a with
  | zero =>
    -- 基础情况：a = 0
    rfl
  | succ n ih =>
    -- 归纳步骤：a = n + 1
    simp [Nat.add_succ]
    -- 使用归纳假设
    rw [ih]
</syntaxhighlight>

'''解释'''：
1. <code>induction a</code>对变量<code>a</code>进行数学归纳。
2. <code>zero</code>分支处理<code>a = 0</code>的情况，直接使用自反性。
3. <code>succ n ih</code>分支处理<code>a = n + 1</code>的情况，其中<code>ih</code>是归纳假设。
4. <code>simp</code>和<code>rw</code>策略用于简化表达式并应用归纳假设。

== 依赖类型与命题 ==

Lean的核心特性是'''依赖类型系统'''，它允许类型依赖于值。例如：

* 命题“对于所有自然数n，n + 0 = n”可以表示为依赖函数类型：
  <syntaxhighlight lang="lean">
  example : ∀ (n : ℕ), n + 0 = n := by
    intro n
    induction n with
    | zero => rfl
    | succ n ih => simp [Nat.add_succ, ih]
  </syntaxhighlight>

== 可视化：证明构造流程 ==

以下Mermaid图展示了一个简单证明的构造流程：

<mermaid>
graph TD
  A[命题P] --> B{选择策略}
  B -->|应用rfl| C[直接验证]
  B -->|应用induction| D[归纳法]
  D --> E[基础情况]
  D --> F[归纳步骤]
  F --> G[使用归纳假设]
</mermaid>

== 数学公式支持 ==

Lean的命题可以嵌入数学公式。例如，平方和公式：
<math>
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
</math>

对应的Lean命题为：
<syntaxhighlight lang="lean">
example (n : ℕ) : ∑ k in Finset.range n, k^2 = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6 := by
  sorry  -- 实际证明需要更复杂的步骤
</syntaxhighlight>

== 总结 ==

Lean证明的核心是将数学命题转化为类型，并通过构造项或使用策略来生成证明。初学者可以从简单的等式证明开始，逐步学习归纳法、依赖类型和高级策略。通过实践，用户能够掌握形式化数学证明的基本方法，并应用到更复杂的数学或编程验证中。

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