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= Lean转换器 =

== 介绍 ==
'''Lean转换器'''（Lean Transformer）是Lean元编程中的核心工具，用于在编译时或运行时对表达式进行结构转换。它们属于''元编程''范畴，允许开发者操作抽象语法树（AST）以实现代码生成、优化或分析。转换器在宏系统、代码重写和自动化证明中尤为关键。

转换器可分为两类：
* '''声明式转换器'''：基于模式匹配的规则系统
* '''过程式转换器'''：通过函数式编程直接操作语法树

== 核心概念 ==
=== 语法树转换 ===
Lean转换器作用于表达式的语法树表示。例如，当遇到表达式 <code>a + b</code> 时，其语法树结构为：

<mermaid>
graph TD
    A[+] --> B[a]
    A --> C[b]
</mermaid>

转换器可以通过以下方式修改此结构：
* 重写节点（如将<code>+</code>改为<code>*</code>）
* 添加/删除子树
* 分析节点属性

=== 转换器类型 ===
在Lean中，转换器主要通过以下类型实现：
<syntaxhighlight lang="lean">
-- 基础转换器类型
abbrev Transformer := Expr → MetaM Expr

-- 带上下文的转换器
abbrev ContextualTransformer (α : Type) := α → Expr → MetaM (α × Expr)
</syntaxhighlight>

== 基础示例 ==
=== 常量替换 ===
以下转换器将所有<code>Nat.succ</code>调用替换为<code>Nat.add 1</code>：

<syntaxhighlight lang="lean">
def succToAdd : Transformer := fun e => do
  match e with
  | .app (.const ``Nat.succ _) n => 
    return mkApp (.const ``Nat.add []) (mkNatLit 1) n
  | _ => pure e

-- 输入: Nat.succ 5
-- 输出: Nat.add 1 5
</syntaxhighlight>

=== 条件表达式优化 ===
优化<code>if True then a else b</code>为<code>a</code>：

<syntaxhighlight lang="lean">
def simplifyIf : Transformer := fun e => do
  match e with
  | .app (.app (.app (.const ``ite _) (.const ``True _)) t) _ =>
    pure t
  | _ => pure e
</syntaxhighlight>

== 高级应用 ==
=== 自定义重写系统 ===
构建支持优先级的重写规则系统：

<syntaxhighlight lang="lean">
structure RewriteRule where
  priority : Nat
  pattern : Expr
  replacement : Expr

def applyRules (rules : Array RewriteRule) : Transformer := fun e => do
  let candidates := rules.filter (λ r => e.matchPattern r.pattern)
  if let some bestRule := candidates.maxBy? (.priority) then
    return bestRule.replacement
  else pure e
</syntaxhighlight>

=== 证明自动化 ===
转换器可用于自动应用定理：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 自动应用加法交换律
def autoComm : Transformer := fun e => do
  if e.isAppOf ``Nat.add then
    let a := e.getAppArgs[0]!
    let b := e.getAppArgs[1]!
    return mkApp2 (.const ``Nat.add []) b a
  else pure e
</syntaxhighlight>

== 性能考量 ==
转换器运行时需注意：
* 避免深层递归导致的栈溢出
* 使用<code>MetaM</code>缓存中间结果
* 对大型语法树采用增量处理

最佳实践示例：
<syntaxhighlight lang="lean">
partial def efficientTransform : Transformer := fun e => do
  if e.isAtomic then pure e else
  let fn := e.getAppFn
  let args ← e.getAppArgs.mapM efficientTransform
  let newFn ← match fn with
    | .const ``Nat.succ _ => pure (.const ``Nat.add []))
    | _ => efficientTransform fn
  return mkAppN newFn args
</syntaxhighlight>

== 数学基础 ==
转换器的正确性可通过以下性质验证：
* '''保持类型'''：若<math>\Gamma \vdash e : \tau</math>，则转换后<math>\Gamma \vdash e' : \tau</math>
* '''语义等价'''：<math>\llbracket e \rrbracket = \llbracket e' \rrbracket</math>

== 实际案例 ==
=== 代码风格转换 ===
将Point-free风格转换为显式参数：

'''输入'''：
<syntaxhighlight lang="lean">
List.map (· + 1)
</syntaxhighlight>

'''转换器输出'''：
<syntaxhighlight lang="lean">
fun xs => List.map (fun x => x + 1) xs
</syntaxhighlight>

=== 教学辅助 ===
在数学证明中自动展开定义：

'''输入'''：
<syntaxhighlight lang="lean">
Even n
</syntaxhighlight>

'''展开后'''：
<syntaxhighlight lang="lean">
∃ k, n = 2 * k
</syntaxhighlight>

== 参见 ==
* 宏系统
* 表达式反射
* 元编程策略

== 进阶阅读 ==
* Lean4源码中的<code>Lean.Meta.Transform</code>模块
* 形式化方法中的程序转换理论
* 编译器优化中的中间表示转换技术

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[[Category:Lean]]