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= Lean递归验证 =

'''Lean递归验证'''是使用Lean定理证明器对递归函数进行形式化验证的过程。通过数学归纳法和类型系统的结合，Lean能够验证递归函数的终止性、正确性以及与规范的一致性。本条目将详细介绍递归验证的原理、实现方法及实际应用案例。

== 基本概念 ==

递归函数在程序设计中广泛存在，但传统测试方法难以全面验证其正确性。Lean通过以下机制实现递归验证：

1. '''结构递归'''：要求递归调用必须作用于严格“更小”的参数
2. '''终止性分析'''：自动或半自动证明函数总会终止
3. '''命题即类型'''：将规范转化为依赖类型

数学基础可表示为：给定递归函数<math>f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math>，需证明<math>\forall n \in \mathbb{N}, P(f(n))</math>成立，其中<math>P</math>为所需性质。

== 验证方法 ==

=== 结构递归验证 ===

最基础的递归验证形式，Lean自动检查递归调用是否作用于严格子结构：

<syntaxhighlight lang="lean">
def factorial : Nat → Nat
  | 0 => 1
  | n+1 => (n+1) * factorial n
</syntaxhighlight>

'''验证要点'''：
* 模式匹配确保覆盖所有情况
* 递归调用`factorial n`作用于严格更小的`n`
* 返回类型`Nat`保证结果类型正确

=== 使用`termination_by`证明终止 ===

对于复杂递归，可显式指定终止度量：

<syntaxhighlight lang="lean">
def ackermann : Nat → Nat → Nat
  | 0, n => n + 1
  | m+1, 0 => ackermann m 1
  | m+1, n+1 => ackermann m (ackermann (m+1) n)
termination_by m n => (m, n)
</syntaxhighlight>

'''终止性分析'''：
1. 元组`(m,n)`按字典序递减
2. 每个递归调用都减小度量值
3. 最终必然达到基本情况`(0,_)`

=== 归纳假设与定理证明 ===

结合`theorem`声明可验证递归函数的数学性质：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem factorial_pos : ∀ n, factorial n > 0 := by
  intro n
  induction n with
  | zero => simp [factorial]
  | succ n ih =>
    rw [factorial]
    exact Nat.mul_pos (Nat.succ_pos n) ih
</syntaxhighlight>

'''证明结构'''：
* 对`n`进行数学归纳
* 基础情况`n=0`直接计算
* 归纳步骤利用归纳假设`ih : factorial n > 0`

== 高级技巧 ==

=== 互递归验证 ===

使用`mutual`块验证相互递归函数：

<syntaxhighlight lang="lean">
mutual
  def even : Nat → Bool
    | 0 => true
    | n+1 => odd n
  
  def odd : Nat → Bool
    | 0 => false
    | n+1 => even n
end
</syntaxhighlight>

'''验证机制'''：
1. Lean自动生成联合终止证明
2. 检查两个函数互为严格子结构调用
3. 共享相同的终止度量

=== 良基递归 ===

对于非结构递归，可使用良基关系：

<syntaxhighlight lang="lean">
def div_by_two : Nat → Nat
  | 0 => 0
  | 1 => 0
  | n => div_by_two (n - 2)
termination_by n => n
decreasing_by simp_wf  -- 自动证明n-2 < n
</syntaxhighlight>

== 实际案例 ==

=== 快速排序验证 ===

验证快速排序的以下性质：
1. 输出有序
2. 输出是输入的排列
3. 终止性

部分实现：

<syntaxhighlight lang="lean">
def qsort : List Nat → List Nat
  | [] => []
  | x::xs =>
    let (lo, hi) := xs.partition (· ≤ x)
    qsort lo ++ [x] ++ qsort hi

theorem qsort_sorted (l : List Nat) : (qsort l).Sorted := by
  induction l with
  | nil => simp [qsort, List.Sorted.nil]
  | cons x xs ih =>
    simp [qsort]
    -- 此处需要证明合并保持有序性
    sorry
</syntaxhighlight>

=== 递归神经网络验证 ===

验证RNN单元格的数学性质：

<mermaid>
graph LR
  A[输入x_t] --> B[RNN单元]
  B --> C[隐藏状态h_t]
  C --> B
  B --> D[输出y_t]
</mermaid>

对应Lean验证：

<syntaxhighlight lang="lean">
def rnn_step (W : Matrix n n) (U : Matrix m n) (b : Vector n)
  (h_prev : Vector n) (x : Vector m) : Vector n :=
  activate (W * h_prev + U * x + b)

theorem rnn_bounded (W U h x b : _) (norm_W < 1) :
  ‖rnn_step W U b h x‖ ≤ c * (‖h‖ + ‖x‖ + ‖b‖) := by
  -- 利用矩阵范数和压缩映射性质
  sorry
</syntaxhighlight>

== 常见问题 ==

{| class="wikitable"
|-
! 问题 !! 解决方案
|-
| 无法自动终止证明 || 显式提供`termination_by`和`decreasing_by`
|-
| 递归调用未减小参数 || 重构为结构递归或提供良基证明
|-
| 类型错误 || 检查递归返回类型是否一致
|}

== 延伸阅读 ==

* 归纳类型与递归的Curry-Howard对应
* 偏函数与全函数验证差异
* 非确定性递归的验证方法

通过系统化的递归验证，Lean能够为递归程序提供机器检查的可靠性保证，这是传统测试方法难以达到的验证深度。

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