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= Lean集合论 =

'''Lean集合论'''是使用Lean定理证明器形式化处理集合论概念的分支，它将数学基础与程序验证工具结合，为程序员和数学研究者提供严格的集合操作证明框架。本章将系统介绍如何在Lean中表示集合、构建集合运算及形式化证明。

== 核心概念 ==

=== 集合的Lean表示 ===
在Lean中，集合通常被定义为某种类型的"谓词"（即返回Prop的函数）。基础表示法：

<syntaxhighlight lang="lean">
-- 集合定义为α → Prop的函数
def Set (α : Type) := α → Prop

-- 空集示例
def emptySet : Set Nat := fun _ => False

-- 单例集示例
def singleton (x : Nat) : Set Nat := fun y => y = x
</syntaxhighlight>

=== 基本运算 ===
Lean标准库`Mathlib`提供了完备的集合运算：

<syntaxhighlight lang="lean">
import Mathlib.Data.Set.Basic

-- 并集
example : Set Nat := {1, 2, 3} ∪ {4, 5} 

-- 交集
example : Set Nat := {x | x > 0} ∩ {x | x < 10}

-- 差集
example : Set Nat := {1, 2, 3} \ {2}
</syntaxhighlight>

== 形式化证明案例 ==

=== 德摩根定律验证 ===
展示如何在Lean中证明集合论的经典定律：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem deMorgan (A B : Set U) : 
    (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ := by
  ext x  -- 集合相等性证明
  simp only [mem_compl_iff, mem_inter_iff, mem_union_iff]
  tauto   -- 自动完成命题逻辑部分
</syntaxhighlight>

'''执行过程解析'''：
1. `ext x` 展开集合外延性公理
2. `simp` 简化集合成员关系表达式
3. `tauto` 自动处理命题逻辑部分

== 可视化表示 ==
集合关系可通过mermaid图展示：

<mermaid>
classDiagram
    class UniversalSet {
        +U
    }
    class A {
        +1
        +2
    }
    class B {
        +2
        +3
    }
    UniversalSet <|-- A
    UniversalSet <|-- B
</mermaid>

== 进阶应用 ==

=== 选择公理形式化 ===
在Lean中处理非构造性集合论公理：

<syntaxhighlight lang="lean">
axiom choice {α : Type} : 
    (∃ x : α, True) → {x // True} := 
  λ h => Classical.choose h
</syntaxhighlight>

=== 无限集合操作 ===
处理可数无限集合的典型模式：

<syntaxhighlight lang="lean">
def evens : Set Nat := {2 * n | n : Nat}

def primes : Set Nat := 
  {p | p ≥ 2 ∧ ∀ d, d ∣ p → d = 1 ∨ d = p}
</syntaxhighlight>

== 实践案例 ==

'''场景'''：验证用户权限系统
<syntaxhighlight lang="lean">
structure User where
  roles : Set String

def hasAccess (user : User) (resource : String) : Prop :=
  "admin" ∈ user.roles ∨ resource ∈ user.permissions

theorem access_transitive :
    ∀ (u : User) (r1 r2 : String),
    hasAccess u r1 → r1 ⊆ r2 → hasAccess u r2 :=
  by /- 证明省略 -/
</syntaxhighlight>

== 常见问题 ==

'''Q: Lean集合论与经典ZFC有何区别？'''
A: Lean采用类型论基础，集合是谓词而非原始概念，但通过`Mathlib`的`Set`库可模拟大部分ZFC操作。

'''Q: 如何处理集合的递归定义？'''
A: 需使用归纳类型或不动点理论，例如：
<syntaxhighlight lang="lean">
inductive InductiveSet where
  | base : Nat → InductiveSet
  | step : (Nat → InductiveSet) → InductiveSet
</syntaxhighlight>

== 学习建议 ==
1. 先掌握Lean基础语法和类型论
2. 从有限集合操作开始练习
3. 逐步过渡到无限集合和选择公理
4. 结合`Mathlib`文档学习标准证明模式

通过本章学习，开发者可将集合论知识转化为可执行的验证代码，为形式化数学和程序验证奠定基础。

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