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== Strassen矩阵乘法 ==

'''Strassen矩阵乘法'''是一种基于分治算法的高效矩阵乘法算法，由德国数学家Volker Strassen于1969年提出。它通过减少递归过程中的乘法次数，将传统矩阵乘法的时间复杂度从<math>O(n^3)</math>降低到<math>O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.807})</math>，显著提升了大规模矩阵乘法的效率。

=== 基本概念 ===
在传统矩阵乘法中，两个<math>n \times n</math>矩阵相乘需要进行<math>n^3</math>次乘法和加法运算。Strassen算法通过分治策略将矩阵划分为子矩阵，并利用数学技巧将8次乘法减少为7次，从而优化计算效率。

=== 算法原理 ===
Strassen算法的核心步骤如下：
1. '''分块'''：将输入矩阵<math>A</math>和<math>B</math>划分为4个大小相等的子矩阵：
   <math>
   A = \begin{pmatrix}
   A_{11} & A_{12} \\
   A_{21} & A_{22}
   \end{pmatrix}, \quad
   B = \begin{pmatrix}
   B_{11} & B_{12} \\
   B_{21} & B_{22}
   \end{pmatrix}
   </math>
2. '''递归计算7个乘积'''：
   <math>
   \begin{align*}
   P_1 &= A_{11}(B_{12} - B_{22}) \\
   P_2 &= (A_{11} + A_{12})B_{22} \\
   &\vdots \\
   P_7 &= (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22})
   \end{align*}
   </math>
3. '''组合结果'''：
   <math>
   C = \begin{pmatrix}
   P_5 + P_4 - P_2 + P_6 & P_1 + P_2 \\
   P_3 + P_4 & P_5 + P_1 - P_3 - P_7
   \end{pmatrix}
   </math>

=== 代码实现 ===
以下是Python实现的Strassen算法示例（假设矩阵大小为<math>2^k \times 2^k</math>）：

<syntaxhighlight lang="python">
def strassen_multiply(A, B):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return [[A[0][0] * B[0][0]]]
    
    # 分块
    mid = n // 2
    A11 = [row[:mid] for row in A[:mid]]
    A12 = [row[mid:] for row in A[:mid]]
    A21 = [row[:mid] for row in A[mid:]]
    A22 = [row[mid:] for row in A[mid:]]
    
    B11 = [row[:mid] for row in B[:mid]]
    B12 = [row[mid:] for row in B[:mid]]
    B21 = [row[:mid] for row in B[mid:]]
    B22 = [row[mid:] for row in B[mid:]]
    
    # 计算7个乘积
    P1 = strassen_multiply(A11, subtract(B12, B22))
    P2 = strassen_multiply(add(A11, A12), B22)
    P3 = strassen_multiply(add(A21, A22), B11)
    P4 = strassen_multiply(A22, subtract(B21, B11))
    P5 = strassen_multiply(add(A11, A22), add(B11, B22))
    P6 = strassen_multiply(subtract(A12, A22), add(B21, B22))
    P7 = strassen_multiply(subtract(A11, A21), add(B11, B12))
    
    # 组合结果
    C11 = add(subtract(add(P5, P4), P2), P6)
    C12 = add(P1, P2)
    C21 = add(P3, P4)
    C22 = subtract(subtract(add(P5, P1), P3), P7)
    
    # 合并子矩阵
    C = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(mid):
        for j in range(mid):
            C[i][j] = C11[i][j]
            C[i][j + mid] = C12[i][j]
            C[i + mid][j] = C21[i][j]
            C[i + mid][j + mid] = C22[i][j]
    return C

def add(A, B):
    return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]

def subtract(A, B):
    return [[A[i][j] - B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]
</syntaxhighlight>

'''输入示例'''：
<syntaxhighlight lang="python">
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[5, 6], [7, 8]]
print(strassen_multiply(A, B))
</syntaxhighlight>

'''输出结果'''：
<syntaxhighlight lang="python">
[[19, 22], [43, 50]]
</syntaxhighlight>

=== 复杂度分析 ===
* 时间复杂度：<math>T(n) = 7T(n/2) + O(n^2)</math>，通过主定理可得<math>O(n^{\log_2 7})</math>
* 空间复杂度：<math>O(n^2)</math>（递归栈空间）

=== 实际应用 ===
Strassen算法在以下场景中具有重要价值：
1. '''计算机图形学'''：大规模变换矩阵运算
2. '''数值分析'''：求解线性方程组
3. '''机器学习'''：神经网络权重矩阵的快速更新

=== 优化与限制 ===
* '''优化'''：结合并行计算可进一步提升性能
* '''限制'''：
  * 递归开销使得小矩阵效率低于传统算法
  * 需要矩阵大小为<math>2^k \times 2^k</math>（可通过填充0扩展）

=== 可视化分治过程 ===
<mermaid>
graph TD
    A[原始矩阵A,B] --> B[划分为4个子矩阵]
    B --> C1[计算P1-P7]
    C1 --> D[组合C11-C22]
    D --> E[合并结果矩阵C]
</mermaid>

=== 数学推导补充 ===
Strassen算法的关键是通过以下恒等式减少乘法次数：
<math>
\begin{align*}
C_{11} &= P_5 + P_4 - P_2 + P_6 \\
&= (A_{11} + A_{22})(B_{11} + B_{22}) + A_{22}(B_{21} - B_{11}) - (A_{11} + A_{12})B_{22} + (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22})
\end{align*}
</math>
展开后可验证其与传统乘法结果的一致性。

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