Lean集合论[编辑 | 编辑源代码]

Lean集合论是使用Lean定理证明器形式化处理集合论概念的分支，它将数学基础与程序验证工具结合，为程序员和数学研究者提供严格的集合操作证明框架。本章将系统介绍如何在Lean中表示集合、构建集合运算及形式化证明。

核心概念[编辑 | 编辑源代码]

集合的Lean表示[编辑 | 编辑源代码]

在Lean中，集合通常被定义为某种类型的"谓词"（即返回Prop的函数）。基础表示法：

-- 集合定义为α → Prop的函数
def Set (α : Type) := α → Prop

-- 空集示例
def emptySet : Set Nat := fun _ => False

-- 单例集示例
def singleton (x : Nat) : Set Nat := fun y => y = x

基本运算[编辑 | 编辑源代码]

Lean标准库`Mathlib`提供了完备的集合运算：

import Mathlib.Data.Set.Basic

-- 并集
example : Set Nat := {1, 2, 3} ∪ {4, 5} 

-- 交集
example : Set Nat := {x | x > 0} ∩ {x | x < 10}

-- 差集
example : Set Nat := {1, 2, 3} \ {2}

形式化证明案例[编辑 | 编辑源代码]

德摩根定律验证[编辑 | 编辑源代码]

展示如何在Lean中证明集合论的经典定律：

theorem deMorgan (A B : Set U) : 
    (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ := by
  ext x  -- 集合相等性证明
  simp only [mem_compl_iff, mem_inter_iff, mem_union_iff]
  tauto   -- 自动完成命题逻辑部分

执行过程解析： 1. `ext x` 展开集合外延性公理 2. `simp` 简化集合成员关系表达式 3. `tauto` 自动处理命题逻辑部分

可视化表示[编辑 | 编辑源代码]

集合关系可通过mermaid图展示：

进阶应用[编辑 | 编辑源代码]

选择公理形式化[编辑 | 编辑源代码]

在Lean中处理非构造性集合论公理：

axiom choice {α : Type} : 
    (∃ x : α, True) → {x // True} := 
  λ h => Classical.choose h

无限集合操作[编辑 | 编辑源代码]

处理可数无限集合的典型模式：

def evens : Set Nat := {2 * n | n : Nat}

def primes : Set Nat := 
  {p | p ≥ 2 ∧ ∀ d, d ∣ p → d = 1 ∨ d = p}

实践案例[编辑 | 编辑源代码]

场景：验证用户权限系统

structure User where
  roles : Set String

def hasAccess (user : User) (resource : String) : Prop :=
  "admin" ∈ user.roles ∨ resource ∈ user.permissions

theorem access_transitive :
    ∀ (u : User) (r1 r2 : String),
    hasAccess u r1 → r1 ⊆ r2 → hasAccess u r2 :=
  by /- 证明省略 -/

常见问题[编辑 | 编辑源代码]

Q: Lean集合论与经典ZFC有何区别？ A: Lean采用类型论基础，集合是谓词而非原始概念，但通过`Mathlib`的`Set`库可模拟大部分ZFC操作。

Q: 如何处理集合的递归定义？ A: 需使用归纳类型或不动点理论，例如：

inductive InductiveSet where
  | base : Nat → InductiveSet
  | step : (Nat → InductiveSet) → InductiveSet

学习建议[编辑 | 编辑源代码]

1. 先掌握Lean基础语法和类型论 2. 从有限集合操作开始练习 3. 逐步过渡到无限集合和选择公理 4. 结合`Mathlib`文档学习标准证明模式

通过本章学习，开发者可将集合论知识转化为可执行的验证代码，为形式化数学和程序验证奠定基础。