Lean微积分基础[编辑 | 编辑源代码]

Lean微积分基础是使用Lean定理证明器进行微积分形式化验证的核心内容，适用于数学学习者及需要形式化验证的程序员。本章节将系统介绍如何在Lean中表达微积分概念、构造证明并解决实际问题。

核心概念[编辑 | 编辑源代码]

微积分在Lean中通过数学库（如Mathlib）实现形式化定义，主要包含以下对象：

极限：Filter.Tendsto
导数：HasDerivAt
积分：IntervalIntegral
级数：HasSum

极限的形式化[编辑 | 编辑源代码]

Lean中极限的定义采用过滤器（Filter）抽象：

import analysis.calculus.limit

-- 定义函数f在x₀处的极限为L
example (f : ℝ → ℝ) (x₀ L : ℝ) : Prop := 
  tendsto f (𝓝 x₀) (𝓝 L)

其中𝓝 x₀表示x₀的邻域过滤器。

导数计算实例[编辑 | 编辑源代码]

以下展示多项式求导的完整过程：

import analysis.calculus.deriv

-- 定义函数并计算导数
example : has_deriv_at (λ x, x^3 + 2*x + 1) (3 * x₀^2 + 2) x₀ :=
begin
  apply_rules [has_deriv_at.add, has_deriv_at.pow, has_deriv_at_const, has_deriv_at_id'],
  simp [pow_succ']
end

输出验证：系统会自动验证 $\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x + 1) = 3 x^{2} + 2$ 的正确性。

积分应用案例[编辑 | 编辑源代码]

计算定积分的典型模式：

import measure_theory.integral.interval_integral

-- 计算∫[0,1] x² dx
example : ∫ x in 0..1, x^2 = 1/3 :=
begin
  exact integral_pow 2
end

可视化辅助[编辑 | 编辑源代码]

使用Mermaid展示微积分概念关系：

实际应用场景[编辑 | 编辑源代码]

案例：机器人运动规划 通过Lean验证速度-加速度模型的正确性：

variables (t : ℝ) (position velocity : ℝ → ℝ)

-- 验证速度是位置的导数
axiom vel_is_deriv : ∀ t, has_deriv_at position (velocity t) t

-- 验证加速度是速度的导数
axiom acc_is_deriv : ∀ t, has_deriv_at velocity (acceleration t) t

关键公式[编辑 | 编辑源代码]

微积分基本定理在Lean中的表达： $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$

对应Lean实现：

theorem fundamental_theorem (f : ℝ → ℝ) (a x : ℝ) :
  has_deriv_at (λ u, ∫ t in a..u, f t) (f x) x :=
integral_has_deriv_at_right f a x

学习建议[编辑 | 编辑源代码]

1. 从Mathlib的analysis.calculus模块开始探索 2. 使用#check命令查看定理类型 3. 通过library_search自动寻找相关定理

通过本章学习，读者将掌握用Lean严格表达微积分命题的能力，并为形式化数学验证打下坚实基础。