Lean验证案例研究[编辑 | 编辑源代码]

Lean验证案例研究是通过实际示例展示如何利用Lean定理证明器进行程序验证的实践性教程。本节将介绍经典算法和数学命题的验证方法，涵盖从基础到进阶的案例，帮助读者理解形式化验证的核心思想。

简介[编辑 | 编辑源代码]

Lean作为交互式定理证明器，允许用户通过编写形式化代码来验证程序或数学命题的正确性。其核心思想是将待验证对象转化为类型论中的命题，并构造证明项来完成验证。案例研究通常包含以下要素：

1. 问题描述：需验证的算法或命题 2. 形式化建模：转化为Lean可理解的表述 3. 验证过程：逐步构造证明 4. 结果分析：验证结论的意义

基础案例：列表反转验证[编辑 | 编辑源代码]

问题陈述[编辑 | 编辑源代码]

验证列表反转函数`reverse`满足以下性质： $\forall l : List α, reverse (reverse (l)) = l$

形式化实现[编辑 | 编辑源代码]

def reverse {α : Type} : List α → List α
| [] => []
| (x :: xs) => reverse xs ++ [x]

theorem reverse_involutive {α : Type} (l : List α) : 
  reverse (reverse l) = l := by
  induction l with
  | nil => simp [reverse]
  | cons x xs ih => 
    simp [reverse]
    rw [reverse_append_singleton]
    rw [ih]
where
  reverse_append_singleton {α : Type} (x : α) (l : List α) :
    reverse (l ++ [x]) = x :: reverse l := by
    induction l with
    | nil => simp [reverse]
    | cons y ys ih => 
      simp [reverse, ih]
      rw [← List.cons_append]

验证说明[编辑 | 编辑源代码]

1. 定义递归实现的`reverse`函数 2. 主定理证明使用数学归纳法：

  - 基础情况：空列表显然成立
  - 归纳步骤：假设对`xs`成立，证明对`x :: xs`成立

3. 辅助引理处理列表连接性质

中级案例：快速排序验证[编辑 | 编辑源代码]

规范定义[编辑 | 编辑源代码]

验证快速排序满足： 1. 输出为有序列表 2. 输出是输入的排列

关键验证代码[编辑 | 编辑源代码]

theorem qsort_sorts (l : List ℕ) : Sorted (qsort l) := by
  unfold qsort
  match l with
  | [] => apply Sorted.nil
  | x :: xs =>
    let (lo, hi) := partition x xs
    have lo_sorted : Sorted (qsort lo) := qsort_sorts lo
    have hi_sorted : Sorted (qsort hi) := qsort_sorts hi
    apply merge_sorted; assumption

theorem qsort_perm (l : List ℕ) : Perm l (qsort l) := by
  unfold qsort
  match l with
  | [] => apply Perm.refl
  | x :: xs =>
    let (lo, hi) := partition x xs
    trans
    · apply Perm.cons
      exact qsort_perm xs
    · apply perm_trans
      apply partition_perm
      apply perm_append
      · exact qsort_perm lo
      · exact qsort_perm hi

高级案例：分布式共识算法验证[编辑 | 编辑源代码]

系统建模[编辑 | 编辑源代码]

使用Lean验证Paxos算法的安全性： $Agreement \land Validity \land Termination$

状态机定义[编辑 | 编辑源代码]

structure Proposal where
  value : α
  ballot : Nat

inductive AcceptorState where
  | prepared (b : Nat)
  | accepted (p : Proposal)

inductive Message where
  | prepare (b : Nat)
  | promise (b : Nat) (p : Option Proposal)
  | accept (p : Proposal)
  | accepted (p : Proposal)

安全性证明片段[编辑 | 编辑源代码]

theorem paxos_safety (c : Consensus α) :
  ∃ v : α, ∀ p ∈ c.final_values, p.value = v := by
  apply QuorumIntersection
  intro q1 q2 hq1 hq2
  cases' highest_accepted q1 with p1 hp1
  cases' highest_accepted q2 with p2 hp2
  have : p1.ballot = p2.ballot :=
    Nat.le_antisymm (ballot_le_ballot hp1.1 hp2.2)
                   (ballot_le_ballot hp2.1 hp1.2)
  rw [this]
  exact hp1.2.trans hp2.2.symm