Lean良基归纳

良基归纳（Well-founded Recursion）是Lean定理证明器中一种基于良基关系的归纳方法，它允许在满足特定终止条件的前提下进行递归定义和归纳证明。本文将从基础概念到实际应用全面介绍Lean中的良基归纳。

基本概念[编辑 | 编辑源代码]

良基归纳的核心思想是：在一个集合上定义的递归函数或归纳证明，必须基于某种良基关系（Well-founded relation），这种关系确保递归调用总是在“更小”的元素上进行，从而保证终止性。

数学上，集合 $A$ 上的二元关系 $<$ 是良基的，当且仅当不存在无限递减链： $a_{0} > a_{1} > a_{2} > \dots$

在Lean中，良基归纳通过`WellFounded`类型类实现，典型应用包括：

非结构递归（如基于整数大小的递归）
复杂数据结构的归纳（如树或图的遍历）
无法直接使用结构归纳的情况

语法与实现[编辑 | 编辑源代码]

Lean中使用`wellFounded_induction`进行良基归纳。基本模式如下：

theorem example (x : α) : P x :=
  wellFounded_induction wf (λ y IH, ...)
where
  `wf`是良基关系证明
  `IH`是归纳假设（对所有`y < x`有`P y`）

基础示例：整数递减[编辑 | 编辑源代码]

定义一个基于整数绝对值的良基递归函数：

def factorial : ℤ → ℕ
| n :=
  if h : n ≤ 0 then 1
  else n * factorial (n - 1)
termination_by _ => n  -- 指定度量标准
decreasing_by simp [h] -- 证明递归参数减小

输入/输出示例：

#eval factorial 5  -- 输出: 120
#eval factorial (-3) -- 输出: 1（根据基线条件）

良基关系构造[编辑 | 编辑源代码]

在Lean中构造良基关系的常见方法：

1. 使用预定义关系[编辑 | 编辑源代码]

Lean标准库提供了许多良基关系，如：

`<` 在自然数上
`⊂` 在有限集合上

2. 子关系构造[编辑 | 编辑源代码]

若 $r \subseteq s$ 且 $s$ 良基，则 $r$ 也良基。

给定函数解析失败 (语法错误): {\displaystyle f : α → β} 和解析失败 (语法错误): {\displaystyle β} 上的良基关系解析失败 (语法错误): {\displaystyle <_β} ，可定义解析失败 (语法错误): {\displaystyle α} 上的关系： 解析失败 (语法错误): {\displaystyle a <_α a' := f a <_β f a'}

高级案例：阿克曼函数[编辑 | 编辑源代码]

阿克曼函数是经典的良基递归案例：

def ackermann : ℕ → ℕ → ℕ
| 0     n     := n + 1
| (m+1) 0     := ackermann m 1
| (m+1) (n+1) := ackermann m (ackermann (m+1) n)
termination_by ackermann m n => (m, n)  -- 按字典序

计算过程：

实际应用场景[编辑 | 编辑源代码]

场景1：算法终止证明[编辑 | 编辑源代码]

在证明合并排序的正确性时，需要证明： 解析失败 (语法错误): {\displaystyle length (left l) < length l ∧ length (right l) < length l} 其中`left`和`right`是分割函数。

场景2：游戏状态分析[编辑 | 编辑源代码]

在棋类游戏中，可用良基归纳证明：

游戏状态转换关系是无环的
特定策略必然导致终止

常见问题与解决[编辑 | 编辑源代码]

问题	解决方案
无法自动推断终止性	显式提供`termination_by`和`decreasing_by`
递归参数复杂	使用词典序或组合度量
需要自定义良基关系	构造逆像关系或子关系

延伸阅读[编辑 | 编辑源代码]

Lean标准库中的`WellFounded`模块
数学基础中的序数理论
计算理论中的停机问题关联