Lean图结构

Lean图结构

图（Graph）是计算机科学中最重要的数据结构之一，用于表示对象及其关系。在Lean定理证明器中，图结构可以通过多种方式实现，并用于形式化验证算法或建模复杂系统。

基本概念

图由顶点（Vertices/Nodes）和边（Edges）组成，数学上表示为 $G=(V,E)$：

• $V$ 是顶点集合
• $E\subseteq V\times V$ 是边集合

类型分类：

• 有向图：边有方向（箭头表示）
• 无向图：边无方向（可视为双向）
• 加权图：边带有权值
• 连通图：任意两顶点间存在路径

graph LR A --> B B --> C C --> A D --> E

Lean中的实现

在Lean中，图可以通过以下方式表示：

邻接列表表示法

structure Graph (V : Type) where
  adjList : V → List V  -- 每个顶点对应的邻接顶点列表

-- 示例：有向图
def sampleGraph : Graph Nat := {
  adjList := fun
    | 1 => [2, 3]
    | 2 => [4]
    | 3 => [4]
    | 4 => []
    | _ => []
}

边集表示法

structure Edge (V : Type) :=
  (src : V) (dest : V)

structure Graph (V : Type) where
  vertices : List V
  edges : List (Edge V)

-- 示例：无向图（每条边需要添加双向）
def undirectedGraph : Graph Nat := {
  vertices := [1, 2, 3, 4],
  edges := [
    Edge.mk 1 2, Edge.mk 2 1,
    Edge.mk 2 3, Edge.mk 3 2,
    Edge.mk 3 4, Edge.mk 4 3
  ]
}

基本操作

添加顶点

def addVertex (g : Graph V) (v : V) : Graph V :=
  { g with vertices := v :: g.vertices }

添加边

def addEdge (g : Graph V) (e : Edge V) : Graph V :=
  { g with edges := e :: g.edges }

深度优先搜索（DFS）

partial def dfs [DecidableEq V] (g : Graph V) (start : V) : List V :=
  let rec visit (visited : List V) (current : V) : List V :=
    if current ∈ visited then visited
    else
      let neighbors := g.adjList current
      neighbors.foldl visit (current :: visited)
  visit [] start

-- 示例输出：
-- #eval dfs sampleGraph 1  -- [4, 2, 3, 1]

形式化验证案例

验证"图中从顶点u到v存在路径"的性质：

inductive Path {V : Type} (g : Graph V) : V → V → Prop
| nil (u : V) : Path g u u
| cons (u v w : V) : Edge g u v → Path g v w → Path g u w

theorem path_exists (g : Graph Nat) (u v : Nat) :
  (∃ path : List Nat, isPath g u v path) ↔ Reachable g u v := by
  constructor
  { intro ⟨p, hp⟩; induction hp <;> simp [Reachable] }
  { intro h; induction h <;> simp [isPath] }

应用场景

1. 社交网络分析：顶点表示用户，边表示关系 2. 路由算法：网络拓扑建模 3. 依赖解析：如构建系统的模块依赖 4. 状态机建模：顶点表示状态，边表示转移

最短路径案例

graph LR A --5--> B A --1--> C B --2--> D C --4--> D D --3--> E

def shortestPath (g : Graph Nat) (start end : Nat) : Option Nat :=
  -- 使用Dijkstra算法实现
  -- 返回最短路径长度
  sorry  -- 实际实现需要优先队列

进阶主题

• 图同构验证：证明两个图结构相同
• 平面性检测：形式化验证图是否可平面绘制
• 着色问题：形式化四色定理等图着色性质
• 流网络：验证最大流最小割定理

练习建议

1. 实现广度优先搜索（BFS）算法 2. 证明无向图中顶点度数和等于边数的两倍 3. 形式化树是连通无环图的定义 4. 实现拓扑排序算法并验证其正确性

通过Lean的形式化验证能力，可以确保图算法的正确性，这是传统编程语言难以实现的独特优势。