Lean代数库

Lean代数库

Lean代数库是Lean定理证明器数学库（mathlib）的核心组成部分之一，专注于抽象代数结构的定义、定理和计算。它为群论、环论、域论、模论等代数分支提供形式化支持，并广泛应用于数学证明和程序验证。

核心概念

代数结构的定义

Lean代数库通过类型类（Type Classes）实现代数结构的层次化组织。例如，一个群（Group）被定义为具有结合律、单位元和逆元的幺半群（Monoid）：

class Group (G : Type u) extends Monoid G where
  inv : G → G
  mul_left_inv : ∀ a : G, a * inv a = 1

常用代数结构

以下是Lean中部分关键结构的类型类层次：

classDiagram Semigroup <|-- Monoid Monoid <|-- Group Monoid <|-- CommMonoid Group <|-- CommGroup AddGroup <|-- AddCommGroup Ring <|-- CommRing Module <|-- VectorSpace

代码示例

群的基本操作

-- 定义整数加法群实例
instance : AddCommGroup ℤ where
  add := Int.add
  add_assoc := Int.add_assoc
  zero := 0
  zero_add := Int.zero_add
  add_zero := Int.add_zero
  neg := Int.neg
  add_left_neg := Int.add_left_neg
  add_comm := Int.add_comm

-- 使用群公理证明简单引理
example (a b : ℤ) : a + b - b = a := by
  rw [add_sub_cancel]

输出：目标状态直接简化为a = a，通过rw（重写）策略应用代数库中的预置定理。

多项式环运算

import Mathlib.Algebra.Polynomial

-- 在ℤ[X]中计算(x+1)^2
example : Polynomial ℤ :=
  (X + 1) ^ 2  -- 展开结果为 X^2 + 2*X + 1

实际应用案例

密码学验证

在椭圆曲线密码学中，Lean代数库可用于证明群运算性质：

-- 定义椭圆曲线点加法结合律
theorem ec_add_assoc (P Q R : ECPoint) :
  (P + Q) + R = P + (Q + R) := by
  apply ec_group.add_assoc  -- 调用代数库中的群公理

线性代数计算

利用模论进行矩阵运算验证：

import Mathlib.LinearAlgebra.Matrix

-- 证明矩阵乘法的分配律
example (A B C : Matrix n n ℝ) :
  A * (B + C) = A * B + A * C :=
  Matrix.mul_add A B C  -- 直接调用代数库定理

数学公式支持

代数库中的定理常涉及复杂公式，例如第一同构定理： $G/\ker \varphi \cong \mathrm{im}\varphi$ 在Lean中对应的形式化语句：

theorem quotient_ker_equiv_range (φ : G →* H) :
  G ⧸ ker φ ≃* range φ := ...

学习建议

• 从基础结构（如Semigroup）逐步学习类型类继承体系
• 使用#check命令查看代数对象的类型签名
• 结合Mathlib文档中的`Algebra.Group.Basic`等文件进行实践

代数库的设计体现了Lean的分层抽象理念，既支持高阶的范畴论概念，也提供具体的数值计算工具。通过逐步探索不同抽象层次，用户可以深入理解形式化代数的强大能力。