Lean持久化数据结构

Lean持久化数据结构

持久化数据结构（Persistent Data Structures）是函数式编程中的重要概念，指在修改数据结构时保留其历史版本，所有版本均可被访问且不会相互干扰。在Lean语言中，持久化数据结构因其不可变特性而成为核心设计范式。

核心概念

持久化数据结构的关键特征包括：

• 不可变性：数据一旦创建便不可修改，任何"修改"操作都会生成新版本
• 结构共享：新版本会尽可能复用旧版本的结构，减少内存开销
• 版本独立性：所有版本保持独立，互不影响

在Lean中，标准库提供的List、Array、RBMap等都是持久化实现。

与可变数据结构的对比

持久化 vs 可变数据结构

特性	持久化结构	可变结构
修改方式	生成新版本	原地修改
历史版本	全部保留	仅保留最新
线程安全	天然安全	需要同步机制
内存效率	结构共享高	每次修改独立

Lean中的实现示例

持久化列表

-- 创建初始列表
def original := [1, 2, 3]

-- "修改"操作生成新列表
def modified := 0 :: original

-- 输出验证
#eval original   -- [1, 2, 3]
#eval modified   -- [0, 1, 2, 3]

内存结构示意图：

graph LR A[original] --> B[1] B --> C[2] C --> D[3] E[modified] --> F[0] F --> B

持久化红黑树

Lean的RBMap实现展示了更复杂的持久化结构：

import Std.Data.RBMap

def emptyMap : Std.RBMap String Nat compare := Std.RBMap.empty
def map1 := emptyMap.insert "apple" 5
def map2 := map1.insert "banana" 7

-- 验证版本独立性
#eval map1.find? "banana"  -- none
#eval map2.find? "banana"  -- some 7

性能分析

持久化数据结构的效率通过分摊时间复杂度衡量：

• 列表操作：$O(n)$最坏情况，但共享尾部
• 树结构操作：$O(\log n)$，共享未修改分支

内存占用公式（理想情况）： $M_{\text{total}}=M_{\text{unique}}+\sum _{i=1}^n{M}_{{\text{shared}}_i}$

应用场景

案例1：撤销功能实现

structure Document where
  content : RBMap Pos String compare
  history : List (RBMap Pos String compare)

def addEdit (doc : Document) (pos : Pos) (text : String) : Document :=
  { doc with 
    content := doc.content.insert pos text,
    history := doc.content :: doc.history }

案例2：并发数据处理

def processParallel (data : List α) (f : α → β) : List β :=
  let sharedData := data  -- 持久化结构可安全共享
  sharedData.map f        -- 无需锁即可并行处理

高级优化技术

哈希数组映射尝试（HAMT）

用于实现高效持久化哈希表，通过多级索引实现结构共享。

惰性更新

结合惰性求值延迟实际修改，进一步提升共享率：

def lazyUpdate (l : List α) (i : Nat) (v : α) : Thunk (List α) :=
  ⟨fun _ => l.set i v⟩  -- 实际修改延迟到强制求值时

学习建议

初学者应： 1. 从List和RBMap开始实践 2. 使用#eval观察不同版本的内存地址 3. 通过性能分析工具比较不同操作的资源消耗

高级用户可以： 1. 研究Std库中的实现细节 2. 尝试自定义持久化数据结构 3. 探索与Lean定理证明的结合应用

参见

• 函数式数据结构
• 结构共享技术
• 不可变编程范式