Lean测度函数
外观
简介[编辑 | 编辑源代码]
Lean测度函数是Lean定理证明器中用于处理递归定义的重要工具,它通过数学上的测度(measure)概念确保递归函数的终止性。在依赖类型理论中,所有函数必须被证明是全函数(total function),而测度函数提供了结构归纳之外的另一种终止性证明方法。
在Lean中,测度函数通常表现为:
- 将输入参数映射到自然数的函数
- 满足每次递归调用时测度值严格递减
- 通过well-founded recursion原则保证终止性
数学基础[编辑 | 编辑源代码]
测度函数的理论基础建立在良基关系(well-founded relation)上。对于类型,若存在关系满足:
则称是良基关系。测度函数诱导的良基关系为:
基本语法[编辑 | 编辑源代码]
在Lean4中,使用`termination_by`子句指定测度函数:
def ackermann : Nat → Nat → Nat
| 0, n => n + 1
| m+1, 0 => ackermann m 1
| m+1, n+1 => ackermann m (ackermann (m+1) n)
termination_by ackermann m n => (m, n)
这个例子展示了:
1. 著名的阿克曼函数定义
2. 使用二元组(m, n)
作为测度
3. Lean会自动按字典序比较元组来证明终止性
实际案例[编辑 | 编辑源代码]
案例1:列表分割[编辑 | 编辑源代码]
考虑一个将列表分成两半的函数:
def splitList (xs : List α) : List α × List α :=
match xs with
| [] => ([], [])
| [x] => ([x], [])
| x::y::zs =>
let (l, r) := splitList zs
(x::l, y::r)
termination_by splitList xs => xs.length
解释:
- 测度函数选择
xs.length
- 每次递归时
zs.length < xs.length
成立 - 输出示例:
splitList [1,2,3,4] = ([1,3], [2,4])
案例2:归并排序[编辑 | 编辑源代码]
更复杂的测度函数应用:
def mergeSort [Ord α] (xs : List α) : List α :=
if xs.length ≤ 1 then xs
else
let mid := xs.length / 2
let (l, r) := xs.splitAt mid
merge (mergeSort l) (mergeSort r)
termination_by mergeSort xs => xs.length
分析:
- 测度函数同样是列表长度
- 关键性质:
l.length < xs.length ∧ r.length < xs.length
- 使用
splitAt
确保子列表严格变小
高级主题[编辑 | 编辑源代码]
自定义良基关系[编辑 | 编辑源代码]
当自然数测度不够时,可以定义完全自定义的良基关系:
def f (x : Nat) : Nat :=
if x = 0 then 1
else if x % 2 = 0 then f (x / 2)
else f (3 * x + 1)
termination_by f x => x
decreasing_by
simp_wf -- 自动生成递减证明
sorry -- 实际应用中需补充证明(Collatz猜想未解决)
多参数测度[编辑 | 编辑源代码]
处理相互递归函数时:
mutual
def even : Nat → Bool
| 0 => true
| n+1 => odd n
def odd : Nat → Bool
| 0 => false
| n+1 => even n
end
termination_by
even n => n
odd n => n
可视化[编辑 | 编辑源代码]
阿克曼函数的测度变化可以用mermaid表示:
常见问题[编辑 | 编辑源代码]
Q: 如何选择测度函数?
- 优先选择能直接反映问题规模的参数(如列表长度、树高度)
- 对于复杂递归,可能需要构造合成测度(如元组、和类型)
Q: Lean如何验证测度有效性?
- 自动生成递减义务(decreasing proof obligation)
- 需要证明每次递归调用时测度严格递减
- 可使用
decreasing_by
子句提供显式证明
最佳实践[编辑 | 编辑源代码]
1. 保持简单:优先使用结构归纳,仅在必要时用测度函数 2. 模块化:将复杂递归分解为多个简单函数 3. 文档化:用注释说明测度函数的设计意图 4. 测试:用极端案例验证终止性(如空列表、极大输入等)
延伸阅读[编辑 | 编辑源代码]
- 良基递归的数学理论
- Lean核心库中的测度函数应用(如
Array.qsort
) - 与结构归纳法的比较研究