Lean嵌套递归

Lean嵌套递归是Lean定理证明器中处理递归定义的一种高级技术，允许函数或归纳类型在其定义中直接或间接地引用自身。这种技术对于定义复杂数据结构（如树形结构）或数学归纳证明至关重要。本文将详细介绍其原理、语法限制、实际应用及解决方案。

基本概念

在Lean中，标准递归要求所有递归调用必须作用于"严格更小的参数"，以保证终止性。而嵌套递归（Nested Recursion）是指递归调用出现在其他数据结构内部的场景，例如：

• 递归调用参数是另一个递归函数的返回值
• 递归类型包含自身嵌套的构造器
• 递归定义涉及相互依赖的多个函数

数学上，嵌套递归可表示为： $f(g(x))\text{其中}g(x)\text{本身包含}f\text{的调用}$

语法与限制

Lean默认使用结构递归检查，嵌套递归需要通过以下方式之一处理：

使用`well_founded`关系

通过显示证明递归终止来绕过自动检查：

def ackermann : Nat → Nat → Nat :=
WellFounded.fix (Nat.lt_wfRel.wf.fix) $ λ a rec,
  match a with
  | 0   => λ b => b + 1
  | n+1 => λ b => rec n (if b = 0 then 1 else rec (n+1) (b-1))

使用`partial`关键字

标记可能不终止的函数（不推荐用于证明）：

partial def nestedExample (n : Nat) : Nat :=
  if n = 0 then 1
  else nestedExample (n % 2 + 1)

典型案例

案例1：嵌套列表求和

处理嵌套的`List (List Nat)`结构：

def nestedSum : List (List Nat) → Nat
  | [] => 0
  | xs :: xss => (xs.foldl (·+·) 0) + nestedSum xss

#eval nestedSum [[1,2], [3], [4,5,6]]  -- 输出: 21

案例2：树形结构处理

定义二叉树及嵌套递归计算：

inductive BinaryTree (α : Type)
  | leaf : α → BinaryTree α
  | node : BinaryTree α → BinaryTree α → BinaryTree α

def depth : BinaryTree α → Nat
  | .leaf _ => 1
  | .node l r => max (depth l) (depth r) + 1

graph TD A[node] --> B[node] A --> C[leaf] B --> D[leaf] B --> E[leaf]

高级应用

相互递归

多个函数相互调用时的处理方案：

mutual
  def even : Nat → Bool
    | 0 => true
    | n+1 => odd n
  def odd : Nat → Bool
    | 0 => false
    | n+1 => even n
end

递归定理证明

嵌套归纳证明示例：

theorem nested_induction (P : Nat → Prop)
  (h0 : P 0)
  (h1 : ∀ n, (∀ k, k < n → P k) → P n) :
  ∀ n, P n := by
  apply Nat.strongInduction
  intro n ih
  exact h1 n ih

常见问题与解决方案

问题	解决方案
终止性无法自动证明	使用`termination_by`手动指定终止度量
嵌套层级过深	重构为辅助函数+结构递归
类型推断失败	显式标注返回类型

最佳实践

1. 优先尝试结构递归写法 2. 复杂嵌套时使用`WellFounded`组合器 3. 避免超过两层的嵌套深度 4. 对关键递归函数添加终止性证明

延伸阅读

• Lean核心库中的`WellFounded`模块实现
• 归纳类型与递归定理的范畴论基础
• 终止性证明的偏序集理论

通过掌握嵌套递归技术，用户可以在Lean中更自由地表达复杂的算法和数学构造，同时保持逻辑严谨性。建议从简单案例开始，逐步过渡到更复杂的嵌套模式。