Lean证明重构

Lean证明重构

介绍

Lean证明重构（Proof Refactoring in Lean）是指在Lean定理证明器中优化和改进现有证明的过程，类似于传统编程中的代码重构。其目标包括：

• 提升证明的可读性、模块化程度
• 减少冗余步骤或重复结构
• 增强证明的通用性或可复用性
• 适应底层库或依赖项的更新

重构后的证明应保持与原证明相同的逻辑正确性，但更易于维护和理解。这是Lean高级用户的核心技能之一，尤其适用于长期项目或团队协作场景。

基础方法

提取辅助引理

将重复出现的证明模式提取为独立引理，减少重复代码。

 
-- 原始证明  
example (n : Nat) : n + n = 2 * n := by  
  induction n with  
  | zero => simp  
  | succ k ih =>  
    rw [Nat.succ_add, Nat.mul_succ]  
    rw [ih]  

-- 重构后：提取归纳步骤逻辑  
lemma succ_step (k : Nat) (ih : k + k = 2 * k) :  
  (succ k) + (succ k) = 2 * (succ k) := by  
  rw [Nat.succ_add, Nat.mul_succ, ih]  

example (n : Nat) : n + n = 2 * n := by  
  induction n with  
  | zero => simp  
  | succ k ih => exact succ_step k ih

使用策略组合

通过策略组合（如`<;>`）合并相似操作：

 
-- 原始版本  
example (h : P ∨ Q) : Q ∨ P := by  
  cases h with  
  | inl hp => apply Or.inr; exact hp  
  | inr hq => apply Or.inl; exact hq  

-- 重构版本  
example (h : P ∨ Q) : Q ∨ P := by  
  cases h <;> (apply Or.inr <|> apply Or.inl) <;> assumption

高级技术

自动化策略生成

利用`macro_rules`或自定义策略批量处理模式：

 
macro_rules | `(tactic| induction_auto) => `(tactic| induction n; simp; try constructor)  

example (n : Nat) : n ≤ n + 1 := by  
  induction_auto  -- 自动生成归纳和化简步骤

依赖图优化

通过分析证明依赖关系重构结构：

graph TD A[Main Theorem] --> B[Lemma 1] A --> C[Lemma 2] B --> D[Sublemma 1.1] C --> D -- 重构后合并重复依赖

实际案例

数学证明重构

原始证明（费马小定理特例）：

 
example (p : Nat) (hp : Prime p) : p ^ p ≡ p [MOD p] := by  
  cases' hp with hp₁ hp₂  
  induction' p using Nat.strong_induction_on with k ih  
  · sorry  -- 基础步骤省略  
  · rw [Nat.pow_succ]  
    -- 此处有大量重复的同余操作  
    ...

重构后版本：

 
lemma mod_cong (k p : Nat) (h : k ≡ 1 [MOD p]) :  
  k * p ≡ p [MOD p] := by  
  rw [Nat.mul_comm, ← Nat.mod_eq_zero]  
  simp [h]  

example (p : Nat) (hp : Prime p) : p ^ p ≡ p [MOD p] := by  
  apply mod_cong  -- 使用辅助引理简化核心步骤  
  ...

验证重构正确性

使用Lean的`#print`命令检查证明项是否等效：

 
#print original_proof  
#print refactored_proof  -- 比较两者的证明项结构

最佳实践

1. 逐步验证：每次小范围重构后立即检查证明状态 2. 版本控制：使用Git记录重要重构节点 3. 性能分析：通过`set_option profiler true`检测策略效率变化

数学公式示例（重构前后的逻辑等价性）： $\mathrm{\forall }(PQ:Prop),(P\wedge Q)⟺\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }P\vee \mathrm{\neg }Q)$

常见错误

• 过度抽象导致证明失去可读性
• 忽略隐式依赖关系（如类型类实例）
• 破坏增量编译（如不合理的`section`划分）

总结

Lean证明重构是提升证明工程质量的关键技术，需平衡抽象程度与可维护性。通过本文的案例和技术，用户可系统性地优化大型证明项目。