Lean数论库

Lean数论库

介绍

Lean数论库是Lean定理证明器中专门处理数论（Number Theory）相关内容的数学库，提供了关于整数、素数、模运算、同余等基本数论概念的严格形式化定义和证明工具。该库是Mathlib（Lean的数学库）的重要组成部分，为程序员和数学研究者提供了在形式化验证环境下探索数论问题的能力。

Lean数论库的核心目标是：

• 提供基础数论概念的形式化定义（如自然数、整数、素数、最大公约数等）
• 实现常用数论算法（如欧几里得算法、素数判定等）
• 建立数论定理的机器可验证证明（如费马小定理、中国剩余定理等）

核心概念

基本数据类型

Lean数论库建立在Lean的基础类型系统上，主要处理以下类型：

• Nat - 自然数（非负整数）
• Int - 整数
• Prime - 素数谓词

-- 自然数定义示例
def n : Nat := 5
def m : Int := -3

-- 素数谓词使用示例
#check Prime 7  -- 返回 `Prime 7` 的命题

重要定义与定理

数论库中包含以下关键定义（部分列表）：

概念	Lean中的表示	数学含义
整除	a ∣ b	a整除b
最大公约数	gcd a b	a和b的GCD
模运算	a ≡ b [MOD n]	a与b模n同余
素数	Prime p	p是素数

代码示例

基本操作示例

import Mathlib.NumberTheory.Divisors
import Mathlib.NumberTheory.Prime

-- 检查整除关系
example : 3 ∣ 9 := by decide

-- 计算GCD
example : gcd 12 18 = 6 := by rfl

-- 素数判定
example : Prime 5 := by decide

定理证明示例

证明"两个连续整数的乘积是偶数"：

theorem product_of_consecutive_ints_even (n : ℤ) : 2 ∣ n * (n + 1) := by
  have : Even n ∨ Even (n + 1) := by
    apply Int.even_or_even_add_one
  rcases this with ⟨k, hk⟩ | ⟨k, hk⟩
  · rw [hk]
    use k * (2 * k + 1)
    ring
  · rw [hk]
    use k * (2 * k - 1)
    ring

实际应用案例

密码学应用

在RSA加密算法的形式化验证中，Lean数论库被用来证明关键的数论性质：

-- 简化的RSA相关性质证明
theorem rsa_correctness {p q : ℕ} (hp : Prime p) (hq : Prime q) (hpq : p ≠ q) :
    ∃ e d : ℕ, ∀ m : ℕ, m < p * q → (m ^ e) ^ d ≡ m [MOD p * q] := by
  -- 证明实现省略...
  sorry

算法验证

验证欧几里得算法的正确性：

theorem gcd_eq_gcd_ab (a b : ℕ) : gcd a b = gcd a (b + a) := by
  apply gcd_eq_gcd_ab_aux
  -- 证明细节...

高级主题

解析数论

对于高级用户，Lean数论库还包含解析数论的相关内容，如素数分布：

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}$

对应的Lean形式化：

import Mathlib.NumberTheory.PrimeCounting

-- 素数计数函数
#check primeCounting

代数数论

关于代数整数环的定义：

import Mathlib.NumberTheory.NumberField.Basic

-- 代数整数定义
#check IsIntegral

学习路径

建议的学习顺序：

graph TD A[基础数论概念] --> B[整除性与模运算] B --> C[素数理论] C --> D[同余理论] D --> E[高级主题]

参见

• Lean定理证明器
• 形式化验证
• 数学库