Strassen矩阵乘法
外观
Strassen矩阵乘法[编辑 | 编辑源代码]
Strassen矩阵乘法是一种基于分治算法的高效矩阵乘法算法,由德国数学家Volker Strassen于1969年提出。它通过减少递归过程中的乘法次数,将传统矩阵乘法的时间复杂度从降低到,显著提升了大规模矩阵乘法的效率。
基本概念[编辑 | 编辑源代码]
在传统矩阵乘法中,两个矩阵相乘需要进行次乘法和加法运算。Strassen算法通过分治策略将矩阵划分为子矩阵,并利用数学技巧将8次乘法减少为7次,从而优化计算效率。
算法原理[编辑 | 编辑源代码]
Strassen算法的核心步骤如下: 1. 分块:将输入矩阵和划分为4个大小相等的子矩阵:
2. 递归计算7个乘积:
解析失败 (语法错误): {\displaystyle \begin{align*} P_1 &= A_{11}(B_{12} - B_{22}) \\ P_2 &= (A_{11} + A_{12})B_{22} \\ &\vdots \\ P_7 &= (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22}) \end{align*} }
3. 组合结果:
代码实现[编辑 | 编辑源代码]
以下是Python实现的Strassen算法示例(假设矩阵大小为):
def strassen_multiply(A, B):
n = len(A)
if n == 1:
return [[A[0][0] * B[0][0]]]
# 分块
mid = n // 2
A11 = [row[:mid] for row in A[:mid]]
A12 = [row[mid:] for row in A[:mid]]
A21 = [row[:mid] for row in A[mid:]]
A22 = [row[mid:] for row in A[mid:]]
B11 = [row[:mid] for row in B[:mid]]
B12 = [row[mid:] for row in B[:mid]]
B21 = [row[:mid] for row in B[mid:]]
B22 = [row[mid:] for row in B[mid:]]
# 计算7个乘积
P1 = strassen_multiply(A11, subtract(B12, B22))
P2 = strassen_multiply(add(A11, A12), B22)
P3 = strassen_multiply(add(A21, A22), B11)
P4 = strassen_multiply(A22, subtract(B21, B11))
P5 = strassen_multiply(add(A11, A22), add(B11, B22))
P6 = strassen_multiply(subtract(A12, A22), add(B21, B22))
P7 = strassen_multiply(subtract(A11, A21), add(B11, B12))
# 组合结果
C11 = add(subtract(add(P5, P4), P2), P6)
C12 = add(P1, P2)
C21 = add(P3, P4)
C22 = subtract(subtract(add(P5, P1), P3), P7)
# 合并子矩阵
C = [[0] * n for _ in range(n)]
for i in range(mid):
for j in range(mid):
C[i][j] = C11[i][j]
C[i][j + mid] = C12[i][j]
C[i + mid][j] = C21[i][j]
C[i + mid][j + mid] = C22[i][j]
return C
def add(A, B):
return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]
def subtract(A, B):
return [[A[i][j] - B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]
输入示例:
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[5, 6], [7, 8]]
print(strassen_multiply(A, B))
输出结果:
[[19, 22], [43, 50]]
复杂度分析[编辑 | 编辑源代码]
- 时间复杂度:,通过主定理可得
- 空间复杂度:(递归栈空间)
实际应用[编辑 | 编辑源代码]
Strassen算法在以下场景中具有重要价值: 1. 计算机图形学:大规模变换矩阵运算 2. 数值分析:求解线性方程组 3. 机器学习:神经网络权重矩阵的快速更新
优化与限制[编辑 | 编辑源代码]
- 优化:结合并行计算可进一步提升性能
- 限制:
* 递归开销使得小矩阵效率低于传统算法 * 需要矩阵大小为(可通过填充0扩展)
可视化分治过程[编辑 | 编辑源代码]
数学推导补充[编辑 | 编辑源代码]
Strassen算法的关键是通过以下恒等式减少乘法次数: 解析失败 (语法错误): {\displaystyle \begin{align*} C_{11} &= P_5 + P_4 - P_2 + P_6 \\ &= (A_{11} + A_{22})(B_{11} + B_{22}) + A_{22}(B_{21} - B_{11}) - (A_{11} + A_{12})B_{22} + (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22}) \end{align*} } 展开后可验证其与传统乘法结果的一致性。