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Strassen矩阵乘法

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Strassen矩阵乘法[编辑 | 编辑源代码]

Strassen矩阵乘法是一种基于分治算法的高效矩阵乘法算法,由德国数学家Volker Strassen于1969年提出。它通过减少递归过程中的乘法次数,将传统矩阵乘法的时间复杂度从O(n3)降低到O(nlog27)O(n2.807),显著提升了大规模矩阵乘法的效率。

基本概念[编辑 | 编辑源代码]

在传统矩阵乘法中,两个n×n矩阵相乘需要进行n3次乘法和加法运算。Strassen算法通过分治策略将矩阵划分为子矩阵,并利用数学技巧将8次乘法减少为7次,从而优化计算效率。

算法原理[编辑 | 编辑源代码]

Strassen算法的核心步骤如下: 1. 分块:将输入矩阵AB划分为4个大小相等的子矩阵:

  A=(A11A12A21A22),B=(B11B12B21B22)

2. 递归计算7个乘积

  解析失败 (语法错误): {\displaystyle     \begin{align*}    P_1 &= A_{11}(B_{12} - B_{22}) \\    P_2 &= (A_{11} + A_{12})B_{22} \\    &\vdots \\    P_7 &= (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22})    \end{align*}    }

3. 组合结果

  C=(P5+P4P2+P6P1+P2P3+P4P5+P1P3P7)

代码实现[编辑 | 编辑源代码]

以下是Python实现的Strassen算法示例(假设矩阵大小为2k×2k):

def strassen_multiply(A, B):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return [[A[0][0] * B[0][0]]]
    
    # 分块
    mid = n // 2
    A11 = [row[:mid] for row in A[:mid]]
    A12 = [row[mid:] for row in A[:mid]]
    A21 = [row[:mid] for row in A[mid:]]
    A22 = [row[mid:] for row in A[mid:]]
    
    B11 = [row[:mid] for row in B[:mid]]
    B12 = [row[mid:] for row in B[:mid]]
    B21 = [row[:mid] for row in B[mid:]]
    B22 = [row[mid:] for row in B[mid:]]
    
    # 计算7个乘积
    P1 = strassen_multiply(A11, subtract(B12, B22))
    P2 = strassen_multiply(add(A11, A12), B22)
    P3 = strassen_multiply(add(A21, A22), B11)
    P4 = strassen_multiply(A22, subtract(B21, B11))
    P5 = strassen_multiply(add(A11, A22), add(B11, B22))
    P6 = strassen_multiply(subtract(A12, A22), add(B21, B22))
    P7 = strassen_multiply(subtract(A11, A21), add(B11, B12))
    
    # 组合结果
    C11 = add(subtract(add(P5, P4), P2), P6)
    C12 = add(P1, P2)
    C21 = add(P3, P4)
    C22 = subtract(subtract(add(P5, P1), P3), P7)
    
    # 合并子矩阵
    C = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(mid):
        for j in range(mid):
            C[i][j] = C11[i][j]
            C[i][j + mid] = C12[i][j]
            C[i + mid][j] = C21[i][j]
            C[i + mid][j + mid] = C22[i][j]
    return C

def add(A, B):
    return [[A[i][j] + B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]

def subtract(A, B):
    return [[A[i][j] - B[i][j] for j in range(len(A))] for i in range(len(A))]

输入示例

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[5, 6], [7, 8]]
print(strassen_multiply(A, B))

输出结果

[[19, 22], [43, 50]]

复杂度分析[编辑 | 编辑源代码]

  • 时间复杂度:T(n)=7T(n/2)+O(n2),通过主定理可得O(nlog27)
  • 空间复杂度:O(n2)(递归栈空间)

实际应用[编辑 | 编辑源代码]

Strassen算法在以下场景中具有重要价值: 1. 计算机图形学:大规模变换矩阵运算 2. 数值分析:求解线性方程组 3. 机器学习:神经网络权重矩阵的快速更新

优化与限制[编辑 | 编辑源代码]

  • 优化:结合并行计算可进一步提升性能
  • 限制
 * 递归开销使得小矩阵效率低于传统算法
 * 需要矩阵大小为2k×2k(可通过填充0扩展)

可视化分治过程[编辑 | 编辑源代码]

graph TD A[原始矩阵A,B] --> B[划分为4个子矩阵] B --> C1[计算P1-P7] C1 --> D[组合C11-C22] D --> E[合并结果矩阵C]

数学推导补充[编辑 | 编辑源代码]

Strassen算法的关键是通过以下恒等式减少乘法次数: 解析失败 (语法错误): {\displaystyle \begin{align*} C_{11} &= P_5 + P_4 - P_2 + P_6 \\ &= (A_{11} + A_{22})(B_{11} + B_{22}) + A_{22}(B_{21} - B_{11}) - (A_{11} + A_{12})B_{22} + (A_{12} - A_{22})(B_{21} + B_{22}) \end{align*} } 展开后可验证其与传统乘法结果的一致性。