编辑“︁点与向量”︁

{{DISPLAYTITLE:点与向量}}  
'''点与向量'''是计算几何中最基础的概念，用于描述空间中的位置和方向。它们在计算机图形学、物理模拟、机器人路径规划等领域有广泛应用。本章将详细讲解它们的数学定义、基本运算及实际应用。  

== 数学定义 ==  
=== 点（Point）===  
在二维或三维空间中，'''点'''表示一个具体的位置，通常用坐标表示：  
* 二维点：<math>P = (x, y)</math>  
* 三维点：<math>P = (x, y, z)</math>  

=== 向量（Vector）===  
'''向量'''表示方向和大小（长度），由起点和终点确定。若起点为原点，则向量与点坐标相同。  
* 二维向量：<math>\vec{v} = (v_x, v_y)</math>  
* 三维向量：<math>\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)</math>  

<mermaid>  
graph LR  
    A[点] -->|坐标表示| B(位置)  
    C[向量] -->|方向和大小| D(位移)  
</mermaid>  

== 基本运算 ==  
=== 向量加法 ===  
两个向量相加的结果是对应分量相加：  
<math>\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)</math>  

=== 向量减法 ===  
向量减法表示从<math>\vec{a}</math>到<math>\vec{b}</math>的位移：  
<math>\vec{b} - \vec{a} = (b_x - a_x, b_y - a_y)</math>  

=== 点积（Dot Product）===  
点积用于计算两个向量的夹角或投影长度：  
<math>\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta</math>  

=== 叉积（Cross Product）===  
叉积用于计算垂直向量（仅限三维）或面积（二维）：  
二维：<math>\vec{a} \times \vec{b} = a_x b_y - a_y b_x</math>  
三维：<math>\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)</math>  

== 代码实现 ==  
以下是Python中点和向量的基础实现：  

<syntaxhighlight lang="python">  
class Point:  
    def __init__(self, x, y):  
        self.x = x  
        self.y = y  

class Vector:  
    def __init__(self, x, y):  
        self.x = x  
        self.y = y  

    def __add__(self, other):  
        return Vector(self.x + other.x, self.y + other.y)  

    def dot(self, other):  
        return self.x * other.x + self.y * other.y  

    def cross(self, other):  
        return self.x * other.y - self.y * other.x  

# 示例  
p1 = Point(1, 2)  
v1 = Vector(3, 4)  
v2 = Vector(5, 6)  
print("点积:", v1.dot(v2))  # 输出: 39  
print("叉积:", v1.cross(v2))  # 输出: -2  
</syntaxhighlight>  

== 实际应用 ==  
=== 1. 碰撞检测 ===  
在游戏开发中，通过向量叉积判断点是否在多边形内。  

=== 2. 路径规划 ===  
机器人导航中，向量表示移动方向和速度，点表示目标位置。  

=== 3. 图形渲染 ===  
计算光照时，使用点积确定光线与表面法线的夹角。  

== 总结 ==  
* 点描述位置，向量描述方向和大小。  
* 向量运算（加法、点积、叉积）是计算几何的核心工具。  
* 实际应用广泛，包括图形学、游戏开发和机器人学。  

通过掌握点与向量的概念，可以为学习更复杂的几何算法（如凸包、线段相交）打下坚实基础。

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