点与向量

点与向量是计算几何中最基础的概念，用于描述空间中的位置和方向。它们在计算机图形学、物理模拟、机器人路径规划等领域有广泛应用。本章将详细讲解它们的数学定义、基本运算及实际应用。

数学定义[编辑 | 编辑源代码]

点（Point）[编辑 | 编辑源代码]

在二维或三维空间中，点表示一个具体的位置，通常用坐标表示：

二维点： $P = (x, y)$
三维点： $P = (x, y, z)$

向量（Vector）[编辑 | 编辑源代码]

向量表示方向和大小（长度），由起点和终点确定。若起点为原点，则向量与点坐标相同。

二维向量： $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$
三维向量： $\vec{v} = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$

基本运算[编辑 | 编辑源代码]

向量加法[编辑 | 编辑源代码]

两个向量相加的结果是对应分量相加： $\vec{a} + \vec{b} = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y})$

向量减法[编辑 | 编辑源代码]

向量减法表示从 $\vec{a}$ 到 $\vec{b}$ 的位移： $\vec{b} - \vec{a} = (b_{x} - a_{x}, b_{y} - a_{y})$

点积（Dot Product）[编辑 | 编辑源代码]

点积用于计算两个向量的夹角或投影长度： $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$

叉积（Cross Product）[编辑 | 编辑源代码]

叉积用于计算垂直向量（仅限三维）或面积（二维）：二维： $\vec{a} \times \vec{b} = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ 三维： $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

代码实现[编辑 | 编辑源代码]

以下是Python中点和向量的基础实现：

  
class Point:  
    def __init__(self, x, y):  
        self.x = x  
        self.y = y  

class Vector:  
    def __init__(self, x, y):  
        self.x = x  
        self.y = y  

    def __add__(self, other):  
        return Vector(self.x + other.x, self.y + other.y)  

    def dot(self, other):  
        return self.x * other.x + self.y * other.y  

    def cross(self, other):  
        return self.x * other.y - self.y * other.x  

# 示例  
p1 = Point(1, 2)  
v1 = Vector(3, 4)  
v2 = Vector(5, 6)  
print("点积:", v1.dot(v2))  # 输出: 39  
print("叉积:", v1.cross(v2))  # 输出: -2