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'''Lean4新战术'''是Lean4定理证明器引入的一系列改进和新增的自动化证明策略，相较于Lean3提供了更强大的数学形式化能力和更高效的交互式证明体验。本条目将系统介绍这些战术的核心特性、语法结构及实际应用场景。

== 概述 ==
Lean4战术系统在以下方面进行了显著改进：
* 更快的元编程框架（基于[[Elab]]模块）
* 改进的宏系统（支持卫生宏和语法扩展）
* 新引入的战术组合子和自动化策略
* 与Lean4类型系统更紧密的集成

这些改进使得形式化数学证明和程序验证更加高效，特别是对于依赖类型和复杂递归结构的证明。

== 核心新战术 ==

=== `rw'` 改进版重写 ===
Lean4扩展了重写战术，支持更精细的控制：

<syntaxhighlight lang="lean">
example (h : a = b) (f : Nat → Nat) : f a = f b := by
  rw' [h]  -- 精确控制重写位置
</syntaxhighlight>

特性对比：
{| class="wikitable"
|-
! 特性 !! Lean3 !! Lean4
|-
| 模式匹配 || 基础支持 || 支持通配符`_`和命名模式
|-
| 作用域控制 || 有限 || 显式`at`/`in`修饰符
|-
| 性能 || O(n) || O(log n)哈希加速
|}

=== `simp` 增强 ===
改进的简化器支持：
* 条件简化规则
* 自定义简化顺序
* 更好的失败反馈

<syntaxhighlight lang="lean">
@[simp] theorem reverse_nil : reverse [] = [] := rfl

example : reverse (reverse [1,2,3]) = [1,2,3] := by
  simp only [reverse_cons, reverse_nil]  -- 显式指定规则集
</syntaxhighlight>

=== `induction'` 智能归纳 ===
新的归纳策略提供更精确的模式匹配：

<syntaxhighlight lang="lean">
inductive Tree where
  | leaf (n : Nat)
  | node (l r : Tree)

theorem tree_size (t : Tree) : size t > 0 := by
  induction' t with
  | leaf n => simp [size]
  | node l r ih_l ih_r =>  -- 自动生成归纳假设
    simp [size, ih_l, ih_r]
</syntaxhighlight>

== 战术组合子 ==

Lean4引入了新的战术组合操作符：

<mermaid>
graph LR
  A[Try] --> B[Repeat]
  B --> C[Focus]
  C --> D[Seq]
  D --> E[Choice]
</mermaid>

常用组合模式：
* `<;>` 序列操作符：`tac1 <;> tac2` 对所有子目标应用`tac2`
* `|>` 管道操作符：`tac |> filter (fun g => g.type.contains "Nat")`
* `try`/`repeat`/`focus` 控制流

== 实际案例 ==

=== 列表反转证明 ===
<syntaxhighlight lang="lean">
theorem reverse_reverse : ∀ (l : List α), reverse (reverse l) = l := by
  intro l
  induction' l with
  | nil => simp [reverse]
  | cons hd tl ih =>
    simp [reverse]
    rw [reverse_append]
    simp [ih]
</syntaxhighlight>

证明步骤解析：
1. `intro` 引入变量
2. `induction'` 进行结构归纳
3. `simp` 使用简化规则
4. `rw` 定向重写

=== 自然数运算 ===
利用新战术验证交换律：

<syntaxhighlight lang="lean">
theorem add_comm (n m : Nat) : n + m = m + n := by
  induction' n with
  | zero => simp [Nat.add]
  | succ n ih =>
    simp [Nat.add_succ]
    rw [ih]
</syntaxhighlight>

== 高级特性 ==

=== 自定义战术 ===
通过宏系统定义领域特定战术：

<syntaxhighlight lang="lean">
macro "auto_induct" : tactic => `(tactic|
  induction' ‹_› with <;> try simp [*])

theorem list_length (l : List α) : length l ≥ 0 := by
  auto_induct  -- 自动应用归纳和简化
</syntaxhighlight>

=== 元编程接口 ===
通过`Tactic`monad访问证明状态：

<syntaxhighlight lang="lean">
elab "count_goals" : tactic => do
  let gs ← getGoals
  logInfo m!"当前子目标数: {gs.length}"
</syntaxhighlight>

== 性能优化 ==

Lean4战术引擎采用新的编译技术：
* 战术预编译为C代码
* 共享内存证明状态
* 增量式处理

数学性能对比（单位：ms）：
<math>
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{操作} & \text{Lean3} & \text{Lean4} \\
\hline
\text{rw 100次} & 120 & 45 \\
\text{simp 大型项} & 320 & 110 \\
\text{完整归纳} & 210 & 75 \\
\hline
\end{array}
</math>

== 最佳实践 ==

1. 优先使用`simp only`而非`simp`以获得确定性
2. 用`induction'`替代手工归纳假设管理
3. 对复杂重写使用`rw'`的位置标注
4. 通过`<;>`组合保持证明简洁
5. 利用宏创建领域特定战术语言

== 参见 ==
* Lean4类型系统
* 定理证明策略
* 交互式定理证明

[[Category:Lean4编程]]
[[Category:定理证明]]
[[Category:形式化方法]]

[[Category:计算机科学]]
[[Category:Lean]]
[[Category:Lean4特性]]