Lean4新战术
Lean4新战术是Lean4定理证明器引入的一系列改进和新增的自动化证明策略，相较于Lean3提供了更强大的数学形式化能力和更高效的交互式证明体验。本条目将系统介绍这些战术的核心特性、语法结构及实际应用场景。
概述[编辑 | 编辑源代码]
Lean4战术系统在以下方面进行了显著改进：
- 更快的元编程框架（基于Elab模块）
- 改进的宏系统（支持卫生宏和语法扩展）
- 新引入的战术组合子和自动化策略
- 与Lean4类型系统更紧密的集成
这些改进使得形式化数学证明和程序验证更加高效，特别是对于依赖类型和复杂递归结构的证明。
核心新战术[编辑 | 编辑源代码]
`rw'` 改进版重写[编辑 | 编辑源代码]
Lean4扩展了重写战术，支持更精细的控制：
example (h : a = b) (f : Nat → Nat) : f a = f b := by
rw' [h] -- 精确控制重写位置
特性对比：
| 特性 | Lean3 | Lean4 |
|---|---|---|
| 模式匹配 | 基础支持 | 支持通配符`_`和命名模式 |
| 作用域控制 | 有限 | 显式`at`/`in`修饰符 |
| 性能 | O(n) | O(log n)哈希加速 |
`simp` 增强[编辑 | 编辑源代码]
改进的简化器支持：
- 条件简化规则
- 自定义简化顺序
- 更好的失败反馈
@[simp] theorem reverse_nil : reverse [] = [] := rfl
example : reverse (reverse [1,2,3]) = [1,2,3] := by
simp only [reverse_cons, reverse_nil] -- 显式指定规则集
`induction'` 智能归纳[编辑 | 编辑源代码]
新的归纳策略提供更精确的模式匹配：
inductive Tree where
| leaf (n : Nat)
| node (l r : Tree)
theorem tree_size (t : Tree) : size t > 0 := by
induction' t with
| leaf n => simp [size]
| node l r ih_l ih_r => -- 自动生成归纳假设
simp [size, ih_l, ih_r]
战术组合子[编辑 | 编辑源代码]
Lean4引入了新的战术组合操作符：
常用组合模式：
- `<;>` 序列操作符：`tac1 <;> tac2` 对所有子目标应用`tac2`
- `|>` 管道操作符：`tac |> filter (fun g => g.type.contains "Nat")`
- `try`/`repeat`/`focus` 控制流
实际案例[编辑 | 编辑源代码]
列表反转证明[编辑 | 编辑源代码]
theorem reverse_reverse : ∀ (l : List α), reverse (reverse l) = l := by
intro l
induction' l with
| nil => simp [reverse]
| cons hd tl ih =>
simp [reverse]
rw [reverse_append]
simp [ih]
证明步骤解析： 1. `intro` 引入变量 2. `induction'` 进行结构归纳 3. `simp` 使用简化规则 4. `rw` 定向重写
自然数运算[编辑 | 编辑源代码]
利用新战术验证交换律：
theorem add_comm (n m : Nat) : n + m = m + n := by
induction' n with
| zero => simp [Nat.add]
| succ n ih =>
simp [Nat.add_succ]
rw [ih]
高级特性[编辑 | 编辑源代码]
自定义战术[编辑 | 编辑源代码]
通过宏系统定义领域特定战术：
macro "auto_induct" : tactic => `(tactic|
induction' ‹_› with <;> try simp [*])
theorem list_length (l : List α) : length l ≥ 0 := by
auto_induct -- 自动应用归纳和简化
元编程接口[编辑 | 编辑源代码]
通过`Tactic`monad访问证明状态：
elab "count_goals" : tactic => do
let gs ← getGoals
logInfo m!"当前子目标数: {gs.length}"
性能优化[编辑 | 编辑源代码]
Lean4战术引擎采用新的编译技术：
- 战术预编译为C代码
- 共享内存证明状态
- 增量式处理
数学性能对比（单位：ms）：
最佳实践[编辑 | 编辑源代码]
1. 优先使用`simp only`而非`simp`以获得确定性 2. 用`induction'`替代手工归纳假设管理 3. 对复杂重写使用`rw'`的位置标注 4. 通过`<;>`组合保持证明简洁 5. 利用宏创建领域特定战术语言
参见[编辑 | 编辑源代码]
- Lean4类型系统
- 定理证明策略
- 交互式定理证明