Lean安全关键系统验证

Lean安全关键系统验证

Lean安全关键系统验证是指使用Lean定理证明器对安全关键系统（如航空航天、医疗设备、核电站控制系统等）进行形式化验证的技术。该技术通过数学方法证明系统满足安全性需求，消除传统测试无法覆盖的边界情况风险。

核心概念

安全关键系统需满足三个基本属性： $\{\begin{array}{ll}\text{可靠性}& \text{系统在指定条件下持续执行功能}\\ \text{安全性}& \text{系统不会导致灾难性后果}\\ \text{可预测性}& \text{系统行为完全符合规格说明}\end{array}$

验证方法对比

验证技术对比

方法	测试覆盖率	适用阶段	工具示例
单元测试	有限	实现后	JUnit
模型检查	状态空间全覆盖	设计阶段	TLA+
定理证明	逻辑全覆盖	全生命周期	Lean/Coq

实践流程

1. 系统建模

在Lean中定义系统状态机和转换规则：

inductive SystemState :=
| idle (power: Nat)
| active (sensors: List Bool)
| failure (error_code: Nat)

def transition (s: SystemState) : SystemState :=
  match s with
  | .idle n => if n > 5 then .active [] else .idle (n+1)
  | .active lst => if lst.all (· == true) then .idle 0 else .failure 42
  | .failure _ => s

2. 安全属性证明

验证系统不会进入无效状态：

theorem no_invalid_state (s: SystemState) (h: valid_config s) :
  ¬ (transition s = .failure 99) := by
  cases s <;> simp [transition]
  case idle n => 
    split <;> simp
  case active lst =>
    split <;> simp [List.all]

输出验证：

Proof succeeds with:
cases: 3
subgoals: 0

实际案例：飞机防撞系统

stateDiagram-v2 [*] --> Monitoring: 初始化 Monitoring --> Warning: 距离 < 安全阈值 Warning --> Evasion: 驾驶员未响应 Evasion --> Monitoring: 危险解除 Warning --> Monitoring: 人工干预

验证关键属性：

• 安全性：两机距离永不小于碰撞阈值
• 活性：警告信号最终必定触发

def minimum_safe_distance : ℝ := 1000

theorem collision_avoidance (d: ℝ) (t: Nat) :
  d ≥ minimum_safe_distance →
  ∃ t' ≥ t, alarm_activated t' := by
  -- 证明过程省略

进阶技巧

概率性系统验证

对随机故障建模时使用概率论公理： $P(\text{Failure})=\sum _{s\in \text{States}}P(s)\cdot P(\text{Fail}|s)$

对应Lean实现：

axiom failure_prob (s: SystemState) : ℝ :=
  match s with
  | .idle _ => 0.001
  | .active _ => 0.01
  | .failure _ => 1

常见挑战与解决方案

挑战	解决方案
状态爆炸	使用抽象解释(Abstract Interpretation)
非确定性行为	引入Monadic建模
实时性要求	时间自动机(Timed Automata)

学习建议

1. 先掌握Lean基础语法和类型论 2. 从简单状态机开始验证 3. 逐步增加系统复杂度 4. 参考工业级案例（如DO-178C标准）