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Lean归纳法变体

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简介[编辑 | 编辑源代码]

归纳法变体是Lean定理证明器中一类重要的高级证明技术,它扩展了标准数学归纳法的应用范围。在Lean中,归纳法不仅限于自然数的标准归纳,还包括结构归纳、递归归纳、良基归纳等多种形式,这些变体能够处理更复杂的逻辑结构和数据类型。

归纳法的核心思想是通过证明:

  • 基础情况(Base Case)对于最小/最简单的情形成立
  • 归纳步骤(Inductive Step)如果对"较小"的情形成立,则对"较大"的情形也成立

主要归纳法变体[编辑 | 编辑源代码]

结构归纳法[编辑 | 编辑源代码]

用于归纳定义的数据类型(如列表、树等),其归纳假设自动遵循数据结构的定义。

-- 列表长度函数的归纳证明
theorem length_append :  (l1 l2 : List α), (l1 ++ l2).length = l1.length + l2.length := by
  intro l1 l2
  induction l1 with
  | nil => simp -- 基础情况:空列表
  | cons hd tl ih => -- 归纳步骤
    simp [ih] -- 使用归纳假设

强归纳法[编辑 | 编辑源代码]

也称为完全归纳法,允许在归纳步骤中使用所有"更小"情形的假设,而不仅仅是前一个情形。

-- 使用强归纳法证明每个自然数n>1可分解为素数乘积
theorem exists_prime_factors (n : Nat) (h : n  2) :  ps : List Nat, ( p  ps, Prime p)  prod ps = n := by
  induction n using Nat.strongInductionOn with
  | ind n ih =>
    match isPrimeDec n with
    | isTrue hp => exact ⟨[n], by simp [hp], by rfl
    | isFalse hnp =>
      obtain m, hm₁, hm₂, hm₃ := exists_dvd_of_not_prime h hnp
      obtain ps, hps, hpseq := ih m hm₁ hm₂
      exact ps ++ [hm₃], by simp [hps, prime_of_dvd_prime (ih _ hm₃) hps], by simp [hpseq]⟩

递归归纳法[编辑 | 编辑源代码]

用于递归定义的函数,其归纳遵循函数的递归结构。

-- Ackermann函数的终止性证明
def ack : Nat  Nat  Nat
  | 0, n => n + 1
  | m+1, 0 => ack m 1
  | m+1, n+1 => ack m (ack (m+1) n)
termination_by ack m n => (m, n) -- 按字典序递减

良基归纳法[编辑 | 编辑源代码]

最通用的归纳形式,基于任意良基关系进行归纳。

-- 使用良基归纳证明欧几里得算法终止
theorem gcd.termination (x y : Nat) (h : y  0) : 
     z, z < y  z = x % y := by
  apply WellFounded.induction (Nat.lt_wfRel.wf) y
  intro y ih h
  exact x % y, mod_lt _ (Nat.pos_of_ne_zero h), rfl

归纳原理的构造[编辑 | 编辑源代码]

在Lean中,归纳原理可以通过以下方式自动生成:

解析失败 (语法错误): {\displaystyle \text{inductive T where} \\ \quad \text{| } c_1 : A_1 \rightarrow T \\ \quad \text{| } c_2 : A_2 \rightarrow T \\ \quad \vdots \\ \quad \text{| } c_n : A_n \rightarrow T \\ \text{生成归纳原理: } \forall (C : T \rightarrow Prop), (\forall (a_1 : A_1), C (c_1 a_1)) \rightarrow \cdots \rightarrow \forall (t : T), C t }

实际应用案例[编辑 | 编辑源代码]

案例1:二叉树性质证明[编辑 | 编辑源代码]

inductive BinTree (α : Type) where
  | leaf : α  BinTree α
  | node : BinTree α  BinTree α  BinTree α

-- 证明所有二叉树满足性质P
theorem tree_prop (P : BinTree α  Prop)
  (h_leaf :  a, P (BinTree.leaf a))
  (h_node :  l r, P l  P r  P (BinTree.node l r)) :
   t, P t := by
  intro t
  induction t with
  | leaf a => apply h_leaf
  | node l r ih_l ih_r => apply h_node <;> assumption

案例2:带参数的归纳[编辑 | 编辑源代码]

-- 证明关于带参数递归函数的性质
def fib : Nat  Nat
  | 0 => 0
  | 1 => 1
  | n+2 => fib n + fib (n+1)

theorem fib_mono :  n, fib n  fib (n+1) := by
  intro n
  induction n with
  | zero => simp [fib]
  | succ n ih =>
    cases n with
    | zero => simp [fib, fib_mono]
    | succ m =>
      rw [fib, fib]
      apply Nat.add_le_add <;> assumption

常见问题与技巧[编辑 | 编辑源代码]

  • 选择归纳变量: 有时需要对不同的变量进行归纳才能完成证明
  • 归纳假设强化: 需要证明比原命题更强的陈述才能完成归纳
  • 非标准归纳: 对非自然数的度量(如列表长度、树高度等)进行归纳
-- 需要强化归纳假设的例子
theorem rev_rev_id :  (l : List α), rev (rev l) = l := by
  intro l
  -- 直接归纳会失败,需要先证明更一般的引理
  have aux :  l₁ l₂, rev_append l₁ (rev_append l₂ []) = rev_append l₂ l₁ := by
    intro l₁ l₂
    induction l₁ with
    | nil => simp [rev_append]
    | cons hd tl ih => simp [rev_append, ih]
  simp [rev, aux l []]

进阶主题[编辑 | 编辑源代码]

  • 相互归纳数据类型: 多个相互递归定义的数据类型需要联合归纳
  • 归纳谓词: 对归纳定义的命题进行归纳
  • 归纳族: 索引化的归纳类型族
-- 相互归纳定义的奇偶数
mutual
  inductive Even : Nat  Prop where
    | zero : Even 0
    | succ :  n, Odd n  Even (n + 1)
  
  inductive Odd : Nat  Prop where
    | succ :  n, Even n  Odd (n + 1)
end

-- 相互归纳证明
mutual
  theorem Even.double :  n, Even (2 * n) := by
    intro n
    induction n with
    | zero => apply Even.zero
    | succ n ih =>
      rw [Nat.mul_succ, Nat.add_comm]
      apply Even.succ
      apply Odd.double
  
  theorem Odd.double :  n, Odd (2 * n + 1) := by
    intro n
    induction n with
    | zero => apply Odd.succ 0 Even.zero
    | succ n ih =>
      rw [Nat.mul_succ, Nat.add_comm, Nat.add_assoc]
      apply Odd.succ
      apply Even.double
end

总结[编辑 | 编辑源代码]

Lean中的归纳法变体提供了强大的工具来处理各种复杂的证明场景。掌握这些技术需要: 1. 理解不同归纳变体的适用场景 2. 熟悉Lean中归纳策略的使用方法 3. 能够识别何时需要强化归纳假设 4. 对递归定义和归纳定义有深刻理解

通过实践和积累经验,程序员可以灵活运用这些归纳法变体来解决实际的定理证明问题。

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