Lean归纳法变体
简介[编辑 | 编辑源代码]
归纳法变体是Lean定理证明器中一类重要的高级证明技术,它扩展了标准数学归纳法的应用范围。在Lean中,归纳法不仅限于自然数的标准归纳,还包括结构归纳、递归归纳、良基归纳等多种形式,这些变体能够处理更复杂的逻辑结构和数据类型。
归纳法的核心思想是通过证明:
- 基础情况(Base Case)对于最小/最简单的情形成立
- 归纳步骤(Inductive Step)如果对"较小"的情形成立,则对"较大"的情形也成立
主要归纳法变体[编辑 | 编辑源代码]
结构归纳法[编辑 | 编辑源代码]
用于归纳定义的数据类型(如列表、树等),其归纳假设自动遵循数据结构的定义。
-- 列表长度函数的归纳证明
theorem length_append : ∀ (l1 l2 : List α), (l1 ++ l2).length = l1.length + l2.length := by
intro l1 l2
induction l1 with
| nil => simp -- 基础情况:空列表
| cons hd tl ih => -- 归纳步骤
simp [ih] -- 使用归纳假设
强归纳法[编辑 | 编辑源代码]
也称为完全归纳法,允许在归纳步骤中使用所有"更小"情形的假设,而不仅仅是前一个情形。
-- 使用强归纳法证明每个自然数n>1可分解为素数乘积
theorem exists_prime_factors (n : Nat) (h : n ≥ 2) : ∃ ps : List Nat, (∀ p ∈ ps, Prime p) ∧ prod ps = n := by
induction n using Nat.strongInductionOn with
| ind n ih =>
match isPrimeDec n with
| isTrue hp => exact ⟨[n], by simp [hp], by rfl⟩
| isFalse hnp =>
obtain ⟨m, hm₁, hm₂, hm₃⟩ := exists_dvd_of_not_prime h hnp
obtain ⟨ps, hps, hpseq⟩ := ih m hm₁ hm₂
exact ⟨ps ++ [hm₃], by simp [hps, prime_of_dvd_prime (ih _ hm₃) hps], by simp [hpseq]⟩
递归归纳法[编辑 | 编辑源代码]
用于递归定义的函数,其归纳遵循函数的递归结构。
-- Ackermann函数的终止性证明
def ack : Nat → Nat → Nat
| 0, n => n + 1
| m+1, 0 => ack m 1
| m+1, n+1 => ack m (ack (m+1) n)
termination_by ack m n => (m, n) -- 按字典序递减
良基归纳法[编辑 | 编辑源代码]
最通用的归纳形式,基于任意良基关系进行归纳。
-- 使用良基归纳证明欧几里得算法终止
theorem gcd.termination (x y : Nat) (h : y ≠ 0) :
∃ z, z < y ∧ z = x % y := by
apply WellFounded.induction (Nat.lt_wfRel.wf) y
intro y ih h
exact ⟨x % y, mod_lt _ (Nat.pos_of_ne_zero h), rfl⟩
归纳原理的构造[编辑 | 编辑源代码]
在Lean中,归纳原理可以通过以下方式自动生成:
解析失败 (语法错误): {\displaystyle \text{inductive T where} \\ \quad \text{| } c_1 : A_1 \rightarrow T \\ \quad \text{| } c_2 : A_2 \rightarrow T \\ \quad \vdots \\ \quad \text{| } c_n : A_n \rightarrow T \\ \text{生成归纳原理: } \forall (C : T \rightarrow Prop), (\forall (a_1 : A_1), C (c_1 a_1)) \rightarrow \cdots \rightarrow \forall (t : T), C t }
实际应用案例[编辑 | 编辑源代码]
案例1:二叉树性质证明[编辑 | 编辑源代码]
inductive BinTree (α : Type) where
| leaf : α → BinTree α
| node : BinTree α → BinTree α → BinTree α
-- 证明所有二叉树满足性质P
theorem tree_prop (P : BinTree α → Prop)
(h_leaf : ∀ a, P (BinTree.leaf a))
(h_node : ∀ l r, P l → P r → P (BinTree.node l r)) :
∀ t, P t := by
intro t
induction t with
| leaf a => apply h_leaf
| node l r ih_l ih_r => apply h_node <;> assumption
案例2:带参数的归纳[编辑 | 编辑源代码]
-- 证明关于带参数递归函数的性质
def fib : Nat → Nat
| 0 => 0
| 1 => 1
| n+2 => fib n + fib (n+1)
theorem fib_mono : ∀ n, fib n ≤ fib (n+1) := by
intro n
induction n with
| zero => simp [fib]
| succ n ih =>
cases n with
| zero => simp [fib, fib_mono]
| succ m =>
rw [fib, fib]
apply Nat.add_le_add <;> assumption
常见问题与技巧[编辑 | 编辑源代码]
- 选择归纳变量: 有时需要对不同的变量进行归纳才能完成证明
- 归纳假设强化: 需要证明比原命题更强的陈述才能完成归纳
- 非标准归纳: 对非自然数的度量(如列表长度、树高度等)进行归纳
-- 需要强化归纳假设的例子
theorem rev_rev_id : ∀ (l : List α), rev (rev l) = l := by
intro l
-- 直接归纳会失败,需要先证明更一般的引理
have aux : ∀ l₁ l₂, rev_append l₁ (rev_append l₂ []) = rev_append l₂ l₁ := by
intro l₁ l₂
induction l₁ with
| nil => simp [rev_append]
| cons hd tl ih => simp [rev_append, ih]
simp [rev, aux l []]
进阶主题[编辑 | 编辑源代码]
- 相互归纳数据类型: 多个相互递归定义的数据类型需要联合归纳
- 归纳谓词: 对归纳定义的命题进行归纳
- 归纳族: 索引化的归纳类型族
-- 相互归纳定义的奇偶数
mutual
inductive Even : Nat → Prop where
| zero : Even 0
| succ : ∀ n, Odd n → Even (n + 1)
inductive Odd : Nat → Prop where
| succ : ∀ n, Even n → Odd (n + 1)
end
-- 相互归纳证明
mutual
theorem Even.double : ∀ n, Even (2 * n) := by
intro n
induction n with
| zero => apply Even.zero
| succ n ih =>
rw [Nat.mul_succ, Nat.add_comm]
apply Even.succ
apply Odd.double
theorem Odd.double : ∀ n, Odd (2 * n + 1) := by
intro n
induction n with
| zero => apply Odd.succ 0 Even.zero
| succ n ih =>
rw [Nat.mul_succ, Nat.add_comm, Nat.add_assoc]
apply Odd.succ
apply Even.double
end
总结[编辑 | 编辑源代码]
Lean中的归纳法变体提供了强大的工具来处理各种复杂的证明场景。掌握这些技术需要: 1. 理解不同归纳变体的适用场景 2. 熟悉Lean中归纳策略的使用方法 3. 能够识别何时需要强化归纳假设 4. 对递归定义和归纳定义有深刻理解
通过实践和积累经验,程序员可以灵活运用这些归纳法变体来解决实际的定理证明问题。